Упражнение 61 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \dfrac{25}{x}=2x-5 \)

\(y = \dfrac{25}{x}\) - гипербола, в \(I\) и \(III\) координатных четвертях.

\(y = 2x-5 \) - возрастающая прямая, которая пересекает ось \(y\) ниже оси \(x\).

Ответ: два решения.

б) \( x^{3} = |x| \)

\(y = x^{3}\) - кубическая парабола, в \(I\) и \(III\) координатных четвертях.

\(у = |x| \) - функция модуля, в \(I\) и \(II\) координатных четвертях.

Ответ: два решения.

Пояснения:

Чтобы определить, сколько решений имеет уравнение, используем графический способ. Строим графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения и находим их точки пересечения. Количество точек пересечения соответствует количеству решений уравнения.

а) \(5x^{2}-8x+3=0\)

\(a = 5\),  \(b = -8\),  \(c = 3\)

\(D=b^2 - 4ac=(-8)^{2}-4\cdot5\cdot3=\)

\(=64-60=4>0\) — два корня.

Ответ: уравнение имеет два корня.

б) \(9x^{2}+6x+1=0\)

\(a = 9\),  \(b = 6\),  \(c = 1\)

\(D=b^2 - 4ac=6^{2}-4\cdot9\cdot1=\)

\(=36-36=0\) — один корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

в) \(-7x^{2}+6x-2=0\)     \(/\times(-1)\)

\(7x^{2}-6x+2=0\)

\(a = 7\),  \(b = -6\),  \(c = 2\)

\(D=b^2 - 4ac=(-6)^{2}-4\cdot7\cdot2=\)

\(=36-56=-20<0\) — корней нет.

Ответ: уравнение не имеет корней.

г) \(-x^{2}+5x-3=0\)     \(/\times(-1)\)

\(x^{2}-5x+3=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 3\)

\(D=b^2 - 4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot3=\)

\(=25-12=13>0\) — два корня.

Ответ: уравнение имеет два корня.

Пояснения:

Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль, называют корнем трехчлена.

Использовано правило о дискриминанте квадратного уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\):

\(D=b^{2}-4ac\).

Если \(D>0\) — два действительных корня; если \(D=0\) — один корень; если \(D<0\) — действительных корней нет.

В пунктах в) и г) уравнение умножено на \(-1\) (допустимо, так как корни не меняются), чтобы привести к стандартному виду с \(a>0\) и затем вычислить \(D\).