Упражнение 59 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\left(\dfrac{2ab}{a^{2}-b^{2}}\overset{ {\color{red}{1}} }{+}\dfrac{a-b}{2a+2b}\right)\overset{ {\color{red}{2}} }{\cdot}\dfrac{2a}{a+b}\overset{ {\color{red}{3}} }{+}\dfrac{b}{\,b-a\,}=1\)

1) \(\dfrac{2ab}{a^{2}-b^{2}}+\dfrac{a-b}{2a+2b}=\)

\(=\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)}^{\color{blue}{\backslash2}} +\dfrac{a-b}{2(a+b)}^{\color{blue}{\backslash a-b}} =\)

\(=\dfrac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} =\)

\(=\dfrac{4ab + a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} =\)

\(=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} =\)

\(=\dfrac{(\cancel{a+b})^{\cancel2}}{2(a-b)\cancel{(a+b)}} =\)

\(=\dfrac{(a+b)}{2(a-b)};\)

2) \( \dfrac{\cancel{a+b}}{\cancel2(a-b)}\cdot\dfrac{\cancel2a}{\cancel{a+b}}=\dfrac{a}{a-b}; \)

3) \( \dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-a}=\)

\(=\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}=1. \)

б) \(\dfrac{y}{x-y}\overset{ {\color{red}{3}} }{-}\dfrac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\overset{ {\color{red}{2}} }{\cdot}\left(\dfrac{x}{(x-y)^{2}}\overset{ {\color{red}{1}} }{-}\dfrac{y}{x^{2}-y^{2}}\right)=-1\)

1) \(\dfrac{x}{(x-y)^{2}}-\dfrac{y}{x^2-y^2}=\)

\( =\dfrac{x}{(x-y)^{2}}^ {\color{blue}{\backslash x+y}} -\dfrac{y}{(x-y)(x+y)}^ {\color{blue}{\backslash x-y}} =\)

\( =\dfrac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)

\( =\dfrac{x^2+\cancel{xy}-\cancel{xy}+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)

\( =\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)};\)

2) \(\dfrac{x^{3}-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)

\(=\dfrac{x(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^{2}(x+y)}=\)

\(= \dfrac{x\cancel{(x-y)}\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^{2}+y^{2}}}\cdot\dfrac{\cancel{x^{2}+y^{2}}}{(x-y)^{\cancel2}\cancel{(x+y)}} =\)

\(=\dfrac{x}{x-y}. \)

3) \( \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y} =\dfrac{y-x}{x-y}=\)

\(=-\dfrac{x-y}{x-y}=-1. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Умножение дробей:

\(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)

4) Вынесение общего множителя за скобки:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b);\)

\(\displaystyle p\,a-p\,b=p(a-b);\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

7) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

8) Сокращение дробей:

\(\dfrac{ka}{kb} = \dfrac{a}{b}.\)

а) \(x^{2}+x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c =6\)

\(D=b^2 - 4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=1+24=25\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-1+5}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2\).

\(x_{2}=\dfrac{-1-5}{2\cdot1}=\dfrac{-6}{2}=-3\).

Ответ: \(2;   -3\).

б) \(9x^{2}-9x+2=0\)

\(a = 9\),  \(b = -9\),  \(c =2\)

\(D=b^2 - 4ac=(-9)^{2}-4\cdot9\cdot2=\)

\(=81-72=9\),     \(\sqrt D = 3\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-(-9)+3}{2\cdot9}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\).

\(x_{2}=\dfrac{-(-9)-3}{2\cdot9}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{3};  \dfrac{1}{3}\).

в) \(0{,}2x^{2}+3x-20=0\)    \(/\times5\)

\(x^{2}+15x-100=0\)

\(a = 1\),  \(b = 15\),  \(c =-100\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=15^{2}-4\cdot1\cdot(-100)=\)

\(=225+400=625\),    \(\sqrt D = 25\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-15 + 25}{2\cdot1}=\dfrac{10}{2}=5\).

\(x_{2}=\dfrac{-15 - 25}{2\cdot1}=\dfrac{-40}{2}=-20\).

Ответ: \(5;   -20\).

г) \(-2x^{2}-x-0{,}125=0\)  \(/\times(-8)\)

\(16x^{2}+8x+1=0\)

\(a = 16\),  \(b = 8\),  \(c =1\)

\(D=b^2 - 4ac=8^{2}-4\cdot16\cdot1=\)

\(=64-64=0\).

\(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\cancel8^1}{2\cdot\cancel{16}_2}=-\dfrac{1}{4}\).

Ответ: \(-\dfrac{1}{4}\).

д) \(0{,}1x^{2}+0{,}4=0\)    \(/\times10\)

\(x^{2}+4=0\)

\(x^{2}=-4\) — корней нет.

Ответ: корней нет.

е) \(-0{,}3x^{2}+1{,}5x=0\)   \(/\times(-10)\)

\(3x^{2}-15x=0\)

\(3x(x-5)=0\)

\(x=0\) или \(x-5=0\)

                  \(x = 5\)

Ответ: \(0,   5\).

Пояснения:

Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль, называют корнем трехчлена.

Использованные правила:

1) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на дои то же число.

2) Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

3) В пункте д) неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), которое не имеет корней, так как его корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\), а арифметический корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

4) В пункте е) неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.