Упражнение 741 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[3\text{ ч }15\text{ мин}=3\frac{15}{60}\text{ ч}=3\frac{1}{4}\text{ ч}=\frac{13}{4}\text{ ч}\]

Пусть скорость течения равна \(x\) км/ч.

\(0 < x < 10\)

Составим уравнение:

\(\frac{18}{10+x}+\frac{14}{10-x}=\frac{13}{4}\) \(/\times4(10-x)(10+x)\)

\(72(10 - x) + 56(10 + x) = 13(10-x)(10+x)\)

\(720 - 72x + 560 + 56x = 13(100 - x^2)\)

\(1280 - 16x = 1300 - 13x^2\)

\(1280 - 16x - 1300 + 13x^2 = 0\)

\(13x^2 - 16x - 20 = 0\)

\(a = 13\),  \(b = -16\),  \(c = -20\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-16)^2-4\cdot 13\cdot (-20) =\)

\(=256+1040=1296 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{1296}=36\)

\[x_1=\frac{16 + 36}{2\cdot13}=\frac{52}{26} = 2\]

\(x_2=\frac{16 - 36}{2\cdot13}=\frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость течения равна \(2\) км/ч.

Пояснения:

Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки, скорость лодки против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки.

Время в пути вычисляется по формуле:

\[t=\frac{s}{v},\]

где \(s\) - пройденный путь,

\(v\) - скорость движения.

Переводим время в часы: \(15\) минут — это \(\frac14\) ч, значит всего \(3\frac14\) ч или \(\frac{13}{4}\) ч.

Пусть скорость течения равна \(x\) км/ч. Тогда скорость по течению \(10+x\), а против течения — \(10-x\).

Время движения по течению:

\[\frac{18}{10+x}\]

Время движения против течения:

\[\frac{14}{10-x}\]

Суммарное время равно \(\frac{13}{4}\) ч:

\[\frac{18}{10+x}+\frac{14}{10-x}=\frac{13}{4}.\]

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение:

\(13x^2-16x-20=0\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом, поэтому берём положительный корень. Следовательно, скорость течения равна \(2\) км/ч.

а)

\[ 7! = 5040 \]

б)

\[ 5! = 120 \]

в)

\[ 6 \cdot 2 \cdot 5! = 2 \cdot 6! = 1440 \]

г)

\[ 6 \cdot 5! = 720 \]

Пояснения:

Используются перестановки и приём «склеивания» элементов.

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \]

а) Произвольный порядок

Все 7 мальчиков различны, значит число способов их расположить:

\[ 7! = 5040 \]

б) Олег в начале, Игорь в конце

Места Олега и Игоря фиксированы.

Остаётся разместить ещё 5 мальчиков на 5 местах:

\[ 5! = 120 \]

в) Олег и Игорь стоят рядом (в любом порядке)

Считаем Олега и Игоря как один «блок».

Тогда всего объектов:

\[ 6 \]

Их можно расположить:

\[ 6! \]

Но внутри блока возможны 2 варианта:

\[ (О, И) \text{ и } (И, О) \]

Поэтому:

\[ 2 \cdot 6! = 2 \cdot 720 = 1440 \]

г) Олег и Игорь рядом, Игорь впереди Олега

Снова рассматриваем их как один блок, но порядок внутри фиксирован:

\[ (И, О) \]

Значит остаётся только перестановка 6 объектов:

\[ 6! = 720 \]

Ответ:

а) \(5040\)

б) \(120\)

в) \(1440\)

г) \(720\)