Упражнение 739 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[45\text{ мин}=\frac{45}{60}\text{ ч}=\frac{3}{4}\text{ ч}\]

\(x > 20\)

Составим уравнение:

\(\frac{180}{x-20}-\frac{180}{x}=\frac34\)   \(/\times 4x(x-20)\)

\(720x -720(x-20) = 3x(x-20)\)

\(720x - 720x + 14400 = 3x^2 - 60x\)

\(14400 = 3x^2 - 60x\)

\(3x^2 - 60x - 14400 = 0\)  \(/ : 3\)

\[x^2-20x-4800=0\]

\(a=1\), \(b = -20\),  \(c = -4800\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-20)^2-4\cdot 1\cdot (-4800)=\)

\(=400+19200=19600 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{19600}=140\)

\[x_1=\frac{20 + 140}{2\cdot1} = \frac{160}{2} = 80 \]

\(x_2=\frac{20 - 140}{2\cdot1} = \frac{-120}{2} = -60 \) - не удовлетворяет условию.

\(80\) км/ч - скорость второй машины.

\(80-20=60\) (км/ч) - скорость первой машины.

Ответ: \(60\) км/ч и \(80\) км/ч.

Пояснения:

Используемые формулы:

\[t=\frac{s}{v}\]

\[45\text{ мин}=\frac{45}{60}\text{ ч}=\frac{3}{4}\text{ ч}\]

Обе машины проезжают одно и то же расстояние \(180\) км, но с разными скоростями, поэтому их времена в пути различаются.

Обозначим скорость второй машины через \(x\) км/ч, тогда скорость первой машины равна \(x-20\) км/ч.

Получим дробно рациональное уравнение:

\(\frac{180}{x-20}-\frac{180}{x}=\frac34\).

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получим квадратное уравнение:

\[x^2-20x-4800=0.\]

Полное квадратное уравнение

\[ax^2+bx+c=0\]

решаем через дискриминант

\[D=b^2-4ac.\]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи (скорость не может быть отрицательной).

Количество чисел:

\[ 4! = 24 \]

Каждая цифра стоит на каждом месте одинаковое число раз:

\[ \frac{24}{4} = 6 \]

Сумма цифр:

\[ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \]

Общая сумма:

\[ 16 \cdot 6 \cdot 4 = 384 \]

Пояснения:

Сначала определим, сколько всего четырёхзначных чисел можно составить из цифр \(1, 3, 5, 7\) без повторений.

Это перестановки из 4 элементов:

\[ 4! = 24 \]

Теперь важно понять ключевую идею:

Каждая цифра (например, \(1\)) встречается в каждом разряде (тысячи, сотни, десятки, единицы) одинаковое количество раз.

Всего позиций — 4.

Каждая цифра используется во всех числах, и на каждую позицию она попадает одинаково часто:

\[ \frac{24}{4} = 6 \]

То есть каждая цифра стоит:

\[ 6 \text{ раз в разряде тысяч} \]

\[ 6 \text{ раз в разряде сотен} \]

\[ 6 \text{ раз в разряде десятков} \]

\[ 6 \text{ раз в разряде единиц} \]

Всего каждая цифра встречается:

\[ 6 \cdot 4 = 24 \text{ раза} \]

Теперь найдём сумму всех цифр:

\[ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \]

Так как каждая цифра встречается 24 раза, общая сумма всех цифр равна:

\[ 16 \cdot 24 = 384 \]

Ответ:

\[ 384 \]