Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№738 учебника 2023-2026 (стр. 196):
Две бригады, работая вместе, выполняют работу за \(6\) ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на \(5\) ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?
№738 учебника 2014-2022 (стр. 189):
Сколько среди четырёхзначных чисел, составленных из цифр \(3, 5, 7, 9\) (без повторения), таких, которые:
а) начинаются с цифры \(3\);
б) кратны \(15\)?
№738 учебника 2023-2026 (стр. 196):
Вспомните:
№738 учебника 2014-2022 (стр. 189):
Введите текст
№738 учебника 2023-2026 (стр. 196):
Пусть первая бригада выполняет работу за \(x\) ч (\(x > 5\)), тогда вторая — за \((x-5)\) ч. За 1 ч первая бригада выполнит \(\frac{1}{x}\) всей работы, а вторая - \(\frac{1}{x+5}\), вместе за 1 ч они выполнят \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5}\) или \(\frac{1}{6}\) всей работы.
Составим уравнение:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\) \(/\times 6x(x-5)\)
\(6(x - 5) + 6x = x(x - 5)\)
\(6x - 30 + 6x = x^2 - 5x\)
\(12x - 30 = x^2 - 5x\)
\(x^2 - 5x - 12x + 30 = 0\)
\(x^2 - 17x + 30 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -17\), \(c = 30\)
\(D = b^2 - 4ac=\)
\(=(-17)^2-4\cdot 1\cdot 30=\)
\(=289-120=169 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{169}=13\)
\(x_1=\frac{17 + 13}{2\cdot1} = \frac{30}{2} = 15\)
\(x_2=\frac{17 - 13}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\) - не удовлетворяет условию.
\(15\) ч - время, за которое первая бригада выполнит всю работу.
\(15 - 5 = 10\) (ч) - время, за которое вторая бригада выполнит всю работу.
Ответ: \(15\) ч и \(10\) ч.
Пояснения:
Основная идея задачи на совместную работу:
\[\text{Производительность}=\frac{1}{\text{время}}\]
Совместная производительность равна сумме производительностей.
Если первая бригада выполняет работу за \(x\) часов, то её производительность равна \(\frac{1}{x}\).
Вторая бригада работает быстрее (ей нужно на \(5\) часов меньше), поэтому её время равно \(x-5\) ч, а производительность \(\frac{1}{x-5}\).
Работая вместе, они выполняют одну работу за \(6\) часов, значит их совместная производительность равна \(\frac{1}{6}\), получим уравнение:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\)
После приведения к общему знаменателю получаем квадратное уравнение \(x^2 - 17x + 30 = 0\).
Полное квадратное уравнение
\[ax^2+bx+c=0\]
решаем через дискриминант
\[D=b^2-4ac.\]
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая бригада выполняет работу за \(15\) ч, а вторая — за \(10\) ч.
№738 учебника 2014-2022 (стр. 189):
а)
Первая цифра фиксирована: \(3\)
\[ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]
б)
Кратно \(15 \Rightarrow\) кратно \(3\) и \(5\)
Последняя цифра:
\[ 5 \]
Оставшиеся цифры:
\[ 3, 7, 9 \]
\[ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]
Пояснения:
В задаче используются перестановки без повторений.
а) Начинаются с 3
Первая цифра фиксирована:
\[ 3 \]
Оставшиеся цифры:
\[ 5, 7, 9 \]
Их можно расположить на оставшихся трёх местах:
\[ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]
б) Кратны 15
Число кратно \(15\), если оно кратно одновременно \(3\) и \(5\).
Признак делимости на \(5\):
\[ \text{последняя цифра } 0 \text{ или } 5 \]
Из данных цифр подходит только:
\[ 5 \]
Значит, последняя цифра фиксирована: \(5\).
Оставшиеся цифры:
\[ 3, 7, 9 \]
Проверим делимость на \(3\):
\[ 3 + 5 + 7 + 9 = 24 \]
\[ 24 \div 3 = 8 \]
Сумма цифр делится на \(3\), значит любое такое число подходит.
Теперь размещаем оставшиеся 3 цифры на первых трёх местах:
\[ 3! = 6 \]
Ответ:
а) \(6\)
б) \(6\)
Вернуться к содержанию учебника