Упражнение 612 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 174

1) Пусть \(b_1, b_2\)  - катеты треугольника, \(b_3\) - гипотенуза. Предположим, что \(b_1, b_2, b_3\) составляют геометрическую прогрессию, тогда \(b_2=b_1q, b_3=b_1q^2\), где \(q\) - знаменатель прогрессии.

2) Используем теорему Пифагора:

\(b_3^2=b_1^2+b_2^2\)

\((b_1q^2)^2 = b_1^2 + (b_1q)^2\)

\(b_1^2q^4 = b_1^2 + b_1^2q^2\)         \(\color{red}| : b_1^2 \neq0 \)

\(q^4 = 1 + q^2\)

3) Получаем следующее уравнение:

\(q^4 - q^2 - 1 = 0\)

Пусть \(t=q^2\):

\(t^2 - t - 1 = 0\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5>0\) - уравнение имеет два корня.

\(t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(t_1 = \dfrac{1+\sqrt5}{2}\)

\(t_2 = \dfrac{1-\sqrt5}{2}\).

Так как \(t=q^2>0\), то \(t_2 = \dfrac{1-\sqrt5}{2}<0\) не подходит, значит, берём:

\(q^2 = \dfrac{1+\sqrt5}{2}\)

Откуда:

\(q = \sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\)

4) Следовательно, существует такое значение \(q\), при котором стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\).

Проверка: по теореме Пифагора запишем:

\(\small \Biggl(b_1\Biggl(\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\Biggr)^2\Biggr)^2 = b_1^2 + \Biggl(b_1\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\Biggr)^2\)

\(\small b_1^2\Biggl(\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\Biggr)^4 = b_1^2 +b_1^2\Biggl(\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\Biggr)^2\)

\(\small b_1^2{\dfrac{\biggl(1+\sqrt5\biggr)^2}{4}} = b_1^2 +b_1^2\dfrac{1+\sqrt5}{2}\)

\(\small b_1^2{\dfrac{1+2\sqrt5+(\sqrt5)^2}{4}} = b_1^2\biggl(1 +\dfrac{1+\sqrt5}{2}\biggr)\)

\(\small b_1^2{\dfrac{1+2\sqrt5+5}{4}} = b_1^2\dfrac{2+1+\sqrt5}{2}\)

\(\small b_1^2{\dfrac{6+2\sqrt5}{4}} = b_1^2\dfrac{3+\sqrt5}{2}\)

\(b_1^2{\dfrac{3+\sqrt5}{2}} = b_1^2\dfrac{3+\sqrt5}{2}\) - верно.

Пояснения:

Используемые правила и теоремы.

1) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

2) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[ c^2 = a^2 + b^2. \]

Ход рассуждений.

Предположим, что длины сторон прямоугольного треугольника составляют геометрическую прогрессию \(b_1, b_2, b_3\). Тогда наибольшая сторона \(b_1q^2\) является гипотенузой.

Подставляя эти выражения в теорему Пифагора, получаем уравнение \(q^4 = 1 + q^2\), которое имеет положительное решение.

Вывод:

Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут образовывать геометрическую прогрессию.