Упражнение 611 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 173

Пусть числа арифметической прогрессии: \(5-d;\ 5;\ 5+d\).

\((5-d)+5+(5+d)=15\).

\(15=15\).

После изменения получаем: \(5-d+1;\ 5+1;\ 5+d+4\).

\(6-d;\ 6;\ 9+d\).

Условие геометрической прогрессии:

\(6^2=(6-d)(9+d)\).

\(36=54+6d-9d-d^2\).

\(36=54-3d-d^2\).

\(d^2+3d-18=0\).

\((d+6)(d-3)=0\).

\(d=3\) или \(d=-6\).

Так как числа положительные и возрастающие, берём \(d=3\).

Искомые числа: \(5-3=2,\ 5,\ 5+3=8\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы.

1) Три последовательных члена арифметической прогрессии можно представить в виде:

\[ a-d,\ a,\ a+d. \]

2) Сумма этих трёх чисел равна:

\[ (a-d)+a+(a+d)=3a. \]

Так как сумма равна 15, средний член равен \(a=5\).

3) Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие:

\[ v^2=uw, \]

где \(v\) — средний член, а \(u\) и \(w\) — крайние.

В задаче после изменения чисел получаем тройку \(6-d;\ 6;\ 9+d\). Приравнивая квадрат среднего произведению крайних, составляем квадратное уравнение.

Из двух корней выбираем \(d=3\), так как по условию все числа исходной арифметической прогрессии должны быть положительными.

Ответ: \(2,\ 5,\ 8\).