Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№611 учебника 2023-2026 (стр. 173):
Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.
№611 учебника 2014-2022 (стр. 159):
Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый член равен \(21\) и разность равна \(-0{,}5\).
№611 учебника 2023-2026 (стр. 173):
Вспомните:
№611 учебника 2014-2022 (стр. 159):
Вспомните:
№611 учебника 2023-2026 (стр. 173):
Пусть \(a_1, a_2, a_3\) - арифметическая прогрессия.
\(a_2=a_1+d; a_3=a_1+2d.\)
Тогда \((a_1+1), (a_2+1), (a_3+4)\) - геометрическая прогрессия.
По условию:
\(a_1+ a_2+ a_3=15\)
Т.к. \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)
Запишем систему:
Пусть числа арифметической прогрессии: \(5-d;\ 5;\ 5+d\).
\( \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=15 \\ (a_2+1)^2 =(a_1+1)(a_3+4) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3a_1+3d=15 \color{red}| :3 \\ \small{(a_1+d+1)^2 =(a_1+1)(a_1+2d+4)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1+d=5 \\ \small{(a_1+d+1)^2 =(a_1+1)(a_1+2d+4)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1=5-d \\ \small{(5-d+d+1)^2 =(5-d+1)(5-d+2d+4)} \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1=5-d \\ 6^2 =(6-d)(9+d) \end{cases} \)
\(36 =(6-d)(9+d)\)
\(36=54+6d-9d-d^2\)
\(36=54-3d-d^2\)
\(d^2+3d-18=0\)
\(D=b^2-4ac=\)
\(=3^2-4\cdot1\cdot(-18) = 81>0\) - уравнение имеет два корня.
\(d_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \sqrt D=9\)
\(d_{1}=\frac{-3+9}{2}=3\)
\(d_{2}=\frac{-3-9}{2}=-6\)
Так как числа положительные и возрастающие, берём \(d=3\):
\(a_1=5-d=5-3=2;\)
\(a_2=a_1+d=2+3=5;\)
\(a_3=a_1+2d=2+2\cdot3=8.\)
Ответ: \(2; 5; 8.\)
Пояснения:
1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.
Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии задаётся формулой:
\(c_n=c_1+(n-1)d.\)
2. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
3. Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)
4. Формула корней квадратного уравнения.
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\) где \(D=b^2-4ac\)
№611 учебника 2014-2022 (стр. 159):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 21\), \(d = -0,5\).
\(a_n=a_1 +d(n-1)\)
\(a_5=21+(-0,5)\cdot(5-1)=\)
\(=21-2=19\).
\(a_{25}=21+(-0,5)\cdot(25-1)=\)
\(=21-12=9\).
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)
\(S_{5}=\dfrac{(a_1+a_{5})\cdot5}{2}=\)
\(=\dfrac{(21+19)\cdot5}{2}=\dfrac{ ^{\color{blue}{20}} \cancel{40}\cdot5}{\cancel2}=\)
\(=20\cdot5 = 100\).
\(S_{25}=\dfrac{(a_1+a_{25})\cdot5}{2}=\)
\(=\dfrac{(21+9)\cdot25}{2}=\dfrac{ ^{\color{blue}{15}} \cancel{30}\cdot25}{\cancel2}=\)
\(=15\cdot25 = 375\).
\(S_{5-25}=S_{25} - S_5=\)
\(=375 - 100=275\).
Ответ: \(S_{6-25} = 275\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия задаётся формулой
\(a_n=a_1+(n-1)d\).
По ней находятся значения нужных членов прогрессии.
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Подставляя значения \(n=5\) и \(n = 25\), получаем суммы \(S_{5}\) и \(S_{25}\). Затем, вычитая из суммы двадцати пяти первых членов \(S_{25}\) сумму пяти первых членов \(S_{5}\), находим сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, то есть \(S_{6-25} = S_{25} - S_{5}\).
Вернуться к содержанию учебника