Упражнение 611 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 173

Пусть \(a_1, a_2, a_3\) - арифметическая прогрессия.

\(a_2=a_1+d; a_3=a_1+2d.\)

Тогда  \((a_1+1), (a_2+1), (a_3+4)\) - геометрическая прогрессия.

По условию: 

\(a_1+ a_2+ a_3=15\) 

Т.к. \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)

Запишем систему:

Пусть числа арифметической прогрессии: \(5-d;\ 5;\ 5+d\).

\( \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=15 \\ (a_2+1)^2 =(a_1+1)(a_3+4) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3a_1+3d=15        \color{red}| :3 \\ \small{(a_1+d+1)^2 =(a_1+1)(a_1+2d+4)} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a_1+d=5 \\ \small{(a_1+d+1)^2 =(a_1+1)(a_1+2d+4)} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a_1=5-d \\ \small{(5-d+d+1)^2 =(5-d+1)(5-d+2d+4)} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a_1=5-d \\ 6^2 =(6-d)(9+d) \end{cases} \)

\(36 =(6-d)(9+d)\)

\(36=54+6d-9d-d^2\)

\(36=54-3d-d^2\)

\(d^2+3d-18=0\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=3^2-4\cdot1\cdot(-18) = 81>0\) - уравнение имеет два корня.

\(d_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \sqrt D=9\)

\(d_{1}=\frac{-3+9}{2}=3\)

\(d_{2}=\frac{-3-9}{2}=-6\)

Так как числа положительные и возрастающие, берём \(d=3\):

\(a_1=5-d=5-3=2;\)

\(a_2=a_1+d=2+3=5;\)

\(a_3=a_1+2d=2+2\cdot3=8.\)

Ответ: \(2; 5; 8.\)

Пояснения:

1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.

Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии задаётся формулой:

\(c_n=c_1+(n-1)d.\)

2.  Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

3. Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)

4. Формула корней квадратного уравнения.

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\) где \(D=b^2-4ac\)