Упражнение 607 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \)

\(b_1 = 760,\ q = 0{,}8\).

\(b_7 = b_1\cdot q^{6} = 760\cdot(0{,}8)^6=\)

\( = 760\cdot0{,}262144 = 199{,}22944\approx199\)  (мм рт. ст.)

Ответ: \(199\)  (мм рт. ст.)

Пояснения:

Если после каждого движения поршня удаляется 20% воздуха, то в сосуде остаётся 80% прежнего количества воздуха.

Это означает, что после каждого шага давление уменьшается в одинаковое число раз, равное:

\[ q = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}8. \]

Такая ситуация описывается геометрической прогрессией, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на коэффициент \(q = 0{,}8\).

Формула для вычисления давления после нескольких движений поршня:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Начальное давление соответствует первому члену прогрессии. После шести движений поршня будет седьмой член прогрессии.

Подставляя значения и выполняя вычисления, получаем давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, приблизительно равное \(199\) мм рт. ст.

\(a_n=3n+2\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)

\(a_1=3\cdot1+2=5\)

а) \(a_{20}=3\cdot20+2=62\)

\(S_{20}=\dfrac{(a_1+a_{20})\cdot\cancel{20}  ^{\color{blue}{10}} }{\cancel2}=\)

\(=(5 + 62)\cdot10 = 67\cdot10=670.\)

б) \(a_{15}=3\cdot15+2=47\)

\(S_{15}=\dfrac{(a_1+a_{15})\cdot15}{2}=\)

\(=\dfrac{(5 + 47)\cdot15}{2} = \dfrac{ ^{\color{blue}{26}} \cancel{52}\cdot15}{\cancel2}=\)

\(=26\cdot15=390\).

Ответ: а) \(S_{20}=670\); \(S_{15}=390\).

Пояснения:

Так как \(a_n=3n+2\) — линейная функция от \(n\), данная последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии находится подстановкой \(n=1\). Для нахождения суммы первых \(n\) членов используется формула:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

а) При \(n=20\) сначала вычисляется двадцатый член прогрессии, затем по формуле находится сумма \(670\).

б) Аналогично при \(n=15\) получаем сумму \(390\).