Упражнение 617 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{-4\cdot(3^9-1)}{3-1} =\)

\(= \dfrac{-4\cdot(19683-1)}{2} =\)

\(=-2\cdot{19682} = -39364.\)

б) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{1\cdot((-2)^9-1)}{(-2)-1} =\)

\(=\dfrac{-512-1}{-3} = \dfrac{-513}{-3} = 171.\)

в) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{-2\cdot(2^9-1)}{2-1} =\)

\(\small =\dfrac{-2\cdot(512-1)}{1} = -2\cdot511 = -1022.\)

г) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{32\cdot((-0{,}5)^9-1)}{(-0{,}5)-1} =\)

\(\small =\dfrac{32\cdot\Biggl(\biggl(-\dfrac{1}{2}\biggr)^9-1\Biggr)}{-1,5} =\dfrac{32\cdot\Biggl(-\dfrac{1}{512}-1\Biggr)}{-\dfrac32} =\)

\(=\dfrac{32\cdot\Biggl(-\dfrac{513}{512}\Biggr)}{-\dfrac32} =32\cdot\dfrac{513}{512}\cdot \dfrac23=\)

\(=\dfrac{\cancel{32} ^{\color{red}{1}}\cdot \cancel{513}^{\color{blue}{171}}\cdot\cancel{2}^{\color{green}{1}}}{\cancel{512}_{\color{red}{\cancel{16}_{\color{green}{8}}}}\cdot \cancel{3}_{\color{blue}{1}}}=\dfrac{171}{8}= 21{,}375.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

В каждом пункте используется эта формула при \(n = 9\). Сначала возводится знаменатель прогрессии \(q\) в девятую степень, затем выполняются все арифметические действия строго по формуле.

При отрицательном знаменателе прогрессии (пункты б и г) степени \(q\) учитывают чередование знаков, что влияет на знак результата.

Все вычисления проведены последовательно, после чего полученные значения суммы упрощены.

\(3,\,5,\,7,\,\ldots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=3,\quad d= 5 - 3=2\)

\(S_n \le 120\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{2\cdot3+2\cdot(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{6+2n-2}{2}\,n=\dfrac{2n+4}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{\cancel2(n+2)}{\cancel2}\,n=(n + 2)n=\)

\(=n^2 + 2n.\)

\(n^2 + 2n \le 120\)

\(n^2 + 2n -120 \le 0\)

\(y = n^2 + 2n -120\) - парабола, ветви вверх.

\(n^2 + 2n -120 = 0\)

\(D=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(=4+480=484 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{484}=22\).

\(n_1=\dfrac{-2+22}{2\cdot1} =\dfrac{20}{2} = 10.\)

\(n_2=\dfrac{-2-22}{2\cdot1} =\dfrac{-24}{2} = -12.\)

\(n \in [12;\, 10]\) и \(n \in N\)

\(0 < n \le 10\)

\(n=10\) - наибольшее число членов арифметической прогрессии.

Ответ: \(n=10\).

Пояснения:

Последовательность \(3,5,7,\ldots\) является арифметической прогрессией с первым членом \(3\) и разностью \(2\).

Сумма первых \(n\) членов такой прогрессии выражается формулой:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).

После подстановки значений получаем неравенство \(n(n+2)\le120\). Его решение показывает, что максимальное допустимое число членов — \(n=10\).

Квадратное уравнение

\(a^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).