Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:
а) \(b_1 = 8,\ q = \dfrac12\);
б) \(b_1 = 500,\ q = \dfrac15\).
Введите текст
а) \(b_1 = 8,\ q = \dfrac12\).
\(S_5 = b_1\cdot\dfrac{1-q^5}{1-q}\).
\(S_5 = 8\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^5}{1-\dfrac12}\).
\(S_5 = 8\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{32}}{\dfrac12}\).
\(S_5 = 8\cdot\dfrac{\dfrac{31}{32}}{\dfrac12} = 8\cdot\dfrac{31}{16} = \dfrac{248}{16} = \dfrac{31}{2}\).
б) \(b_1 = 500,\ q = \dfrac15\).
\(S_5 = b_1\cdot\dfrac{1-q^5}{1-q}\).
\(S_5 = 500\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac15\right)^5}{1-\dfrac15}\).
\(S_5 = 500\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{3125}}{\dfrac45}\).
\(S_5 = 500\cdot\dfrac{\dfrac{3124}{3125}}{\dfrac45} = 500\cdot\dfrac{3124}{3125}\cdot\dfrac54 = 625\cdot\dfrac{3124}{3125} = 624{,}8.\)
Пояснения:
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}. \]
В пункте а) знаменатель прогрессии равен \(\dfrac12\), поэтому каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего. Подстановка значений в формулу и последовательное выполнение действий позволяют получить точное значение суммы.
В пункте б) знаменатель равен \(\dfrac15\), поэтому члены прогрессии быстро убывают. После подстановки в формулу сумма выражается дробью, которая затем упрощается до десятичного числа.
Вернуться к содержанию учебника