Упражнение 615 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 177

а) \(b_1 = 8,\ q = \dfrac12\)

\(\small S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{ 8\cdot\Biggl(\left(\dfrac12\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac12-1}=\)

\(\small=\dfrac{ 8\cdot\Biggl(\dfrac{1}{32}-1\Biggr)}{-\dfrac12}=\dfrac{ 8\cdot\Biggl(-\dfrac{31}{32}\Biggr)}{-\dfrac12}=\)

\(=\dfrac{ -\dfrac{31}{4}}{-\dfrac12}=\frac{31}{4}:\frac{1}{2}=\)

\(=\frac{31}{4}\cdot2=\frac{31}{2}=15,5.\)

Ответ: \(S_5=15,5.\)

б) \(b_1 = 500,\ q = \dfrac15\)

\(\small S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{ 500\cdot\Biggl(\left(\dfrac15\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac15-1}=\)

\(=\dfrac{ 500\cdot\Biggl(\dfrac{1}{3125}-1\Biggr)}{-\dfrac45}=\)

\(=\dfrac{ 500\cdot\Biggl(-\dfrac{3124}{3125}\Biggr)}{-\dfrac45}=\)

\(=\dfrac{ -\dfrac{20 \cdot 3124}{125}}{-\dfrac45}=\dfrac{20 \cdot 3124}{125}:\frac{4}{5}=\)

\(=\dfrac{20 \cdot 3124}{125}\cdot\frac54=\dfrac{5 \cdot 3124}{25}=\)

\(=\dfrac{3124}{5}=624,8.\)

Ответ: \(S_5=624,8.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

В пункте а) знаменатель прогрессии равен \(\dfrac12\), поэтому каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего. Подстановка значений в формулу и последовательное выполнение действий позволяют получить точное значение суммы.

В пункте б) знаменатель равен \(\dfrac15\), поэтому члены прогрессии быстро убывают. После подстановки в формулу сумма выражается дробью, которая затем упрощается до десятичного числа.