Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№615 учебника 2023-2026 (стр. 177):
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:
а) \(b_1 = 8,\ q = \dfrac12\);
б) \(b_1 = 500,\ q = \dfrac15\).
№615 учебника 2014-2022 (стр. 159):
(Для работы в парах.) Какое расстояние пройдёт свободно падающее тело:
а) за пятую секунду после начала падения;
б) за пять секунд после начала падения?
1) Обсудите, какое известное вам из курса физики свойство надо использовать для решения задачи.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.
№615 учебника 2023-2026 (стр. 177):
№615 учебника 2014-2022 (стр. 159):
Вспомните:
№615 учебника 2023-2026 (стр. 177):
а) \(b_1 = 8,\ q = \dfrac12\)
\(\small S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{ 8\cdot\Biggl(\left(\dfrac12\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac12-1}=\)
\(\small=\dfrac{ 8\cdot\Biggl(\dfrac{1}{32}-1\Biggr)}{-\dfrac12}=\dfrac{ 8\cdot\Biggl(-\dfrac{31}{32}\Biggr)}{-\dfrac12}=\)
\(=\dfrac{ -\dfrac{31}{4}}{-\dfrac12}=\frac{31}{4}:\frac{1}{2}=\)
\(=\frac{31}{4}\cdot2=\frac{31}{2}=15,5.\)
Ответ: \(S_5=15,5.\)
б) \(b_1 = 500,\ q = \dfrac15\)
\(\small S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{ 500\cdot\Biggl(\left(\dfrac15\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac15-1}=\)
\(=\dfrac{ 500\cdot\Biggl(\dfrac{1}{3125}-1\Biggr)}{-\dfrac45}=\)
\(=\dfrac{ 500\cdot\Biggl(-\dfrac{3124}{3125}\Biggr)}{-\dfrac45}=\)
\(=\dfrac{ -\dfrac{20 \cdot 3124}{125}}{-\dfrac45}=\dfrac{20 \cdot 3124}{125}:\frac{4}{5}=\)
\(=\dfrac{20 \cdot 3124}{125}\cdot\frac54=\dfrac{5 \cdot 3124}{25}=\)
\(=\dfrac{3124}{5}=624,8.\)
Ответ: \(S_5=624,8.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
В пункте а) знаменатель прогрессии равен \(\dfrac12\), поэтому каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего. Подстановка значений в формулу и последовательное выполнение действий позволяют получить точное значение суммы.
В пункте б) знаменатель равен \(\dfrac15\), поэтому члены прогрессии быстро убывают. После подстановки в формулу сумма выражается дробью, которая затем упрощается до десятичного числа.
№615 учебника 2014-2022 (стр. 159):
Расстояния, проходимые телом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
\(a_1=5,\ d=10\)
а) \(a_n=a_1 +d(n-1)\)
\(a_5=5+10\cdot(5-1)=\)
\(=5+40=45\).
б) \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)
\(S_5=\dfrac{(a_1+a_5)\cdot5}{2}=\)
\(=\dfrac{(5+45)\cdot5}{2}=\dfrac{ ^{\color{blue}{25}} \cancel{50}\cdot5}{\cancel2}=\)
\(=25\cdot5=125\).
Ответ: а) за пятую секунду после начала падения тело пройдет \(45\) м; б) за пять секунд после начала падения тело пройдет \(125\) м.
Пояснения:
Из курса физики известно, что при свободном падении путь, проходимый телом за равные промежутки времени, увеличивается на одно и то же число. Поэтому расстояния, пройденные телом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию.
Первый член этой прогрессии равен 5 м — это путь, пройденный в первую секунду. Разность прогрессии равна 10 м, так как каждую следующую секунду тело проходит на 10 м больше.
а) Чтобы найти расстояние, пройденное за пятую секунду, используется формула
\(a_n=a_1+(n-1)d\).
б) Чтобы найти расстояние, пройденное за пять секунд, необходимо найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Вернуться к содержанию учебника