Упражнение 608 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 173

\(a_1=8\).

\(h=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a\).

\(a_2=h_1=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1\).

\(a_3=h_2=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_2=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 a_1\).

\(\ldots\)

\(a_n=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{n-1}a_1\).

\(P_n=3a_n=3a_1\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{n-1}\).

\(P_1=3\cdot8=24,\quad q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

\(P_6=24\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{6-1}=24\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^5=24\cdot\dfrac{(\sqrt3)^5}{2^5}=24\cdot\dfrac{9\sqrt3}{32}=\dfrac{216\sqrt3}{32}=\dfrac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}.\)

Пояснения:

Правила и формулы, которые используются.

1) В равностороннем треугольнике высота выражается через сторону \(a\) так:

\[ h=\frac{\sqrt3}{2}\,a. \]

2) Периметр равностороннего треугольника:

\[ P=3a. \]

3) Последовательность является геометрической прогрессией, если каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).

Почему периметры образуют геометрическую прогрессию.

Пусть сторона первого равностороннего треугольника равна \(a_1=8\). По условию следующий треугольник строят «из высот» предыдущего, то есть его стороны равны высотам предыдущего треугольника.

Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}a\), значит:

\[ a_2=h_1=\frac{\sqrt3}{2}\,a_1,\quad a_3=h_2=\frac{\sqrt3}{2}\,a_2,\ \ldots,\ a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}\,a_n. \]

То есть стороны образуют геометрическую прогрессию с знаменателем \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Так как \(P_n=3a_n\), то

\[ P_{n+1}=3a_{n+1}=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}a_n=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 3a_n=\frac{\sqrt3}{2}\,P_n, \]

значит периметры тоже образуют геометрическую прогрессию с тем же знаменателем

\[ q=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Нахождение периметра шестого треугольника.

Первый периметр \(P_1=3\cdot8=24\). Тогда

\[ P_6=P_1\cdot q^{5}=24\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^5 =24\cdot\frac{9\sqrt3}{32} =\frac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}. \]