Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:
а) \(3;\ -6;\ \ldots\);
б) \(54;\ 36;\ \ldots\);
в) \(-32;\ -16;\ \ldots\);
г) \(1;\ -\dfrac12;\ \ldots\).
Вспомните:
а) \(b_1=3,\ b_2=-6\)
\(q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-6}{3}=-2\).
\(S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{3\cdot((-2)^6-1)}{(-2)-1}=\)
\(=\dfrac{3\cdot(64-1)}{-3}=-63.\)
б) \(b_1=54,\ b_2=36\)
\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{36}{54}=\dfrac23\).
\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{54\cdot\Biggl(\left(\dfrac23\right)^6-1\Biggr)}{\dfrac23-1} =\)
\(\small =\dfrac{54\cdot\Biggl(\dfrac{64}{729}-1\Biggr)}{-\dfrac13} =\dfrac{54\cdot\Biggl(-\dfrac{665}{729}\Biggr)}{-\dfrac13}=\)
\(={2\cdot\dfrac{665}{27}}:{\dfrac13}={\dfrac{2\cdot665}{27}}\cdot3=\)
\(=\frac{1330}{9}=147\frac{7}{9}.\)
в) \(b_1=-32,\ b_2=-16\)
\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{-16}{-32}=\dfrac12\).
\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{-32\cdot\Biggl(\left(\dfrac12\right)^6-1\Biggr)}{\dfrac12-1} =\)
\(\small =\dfrac{-32\cdot\Biggl(\dfrac{1}{64}-1\Biggr)}{-\dfrac12} =\dfrac{32\cdot\Biggl(-\dfrac{63}{64}\Biggr)}{\dfrac12} =\)
\(=-{32\cdot\dfrac{63}{64}}:{\dfrac12} =-{\dfrac{63}{2}}\cdot2=-63.\)
г) \(b_1=1,\ b_2=-\dfrac12\)
\(q=\frac{b_2}{b_1}=-\dfrac12\).
\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^6-1\Biggr)}{-\dfrac12-1} =\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{64}-1}{-1\dfrac12} =\dfrac{-\dfrac{63}{64}}{-\dfrac32} =\dfrac{63}{64}\cdot\dfrac23 =\dfrac{21}{32}.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Для каждого пункта сначала находится знаменатель прогрессии \(q\) как отношение второго члена к первому. Затем в формулу суммы подставляются значения \(b_1\), \(q\) и \(n=6\).
При отрицательном знаменателе прогрессии (пункты а и г) члены чередуются по знаку, что учитывается при возведении \(q\) в степень.
В каждом пункте все вычисления выполняются строго по формуле, после чего результат упрощается.
Вернуться к содержанию учебника