Упражнение 614 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 174

а) \(2x^2 - 13x - 34 > 0\).

\(D = (-13)^2 - 4\cdot2\cdot(-34) = 169 + 272 = 441\).

\(\sqrt{D} = 21\).

\(x_1 = \dfrac{13 - 21}{4} = -2,\quad x_2 = \dfrac{13 + 21}{4} = \dfrac{17}{2}\).

Ответ: \(x < -2\) или \(x > \dfrac{17}{2}\).

б) \(10x - 4x^2 < 0\).

\(-4x^2 + 10x < 0\).

\(-2x(2x - 5) < 0\).

\(2x(2x - 5) > 0\).

Критические точки: \(x = 0,\ x = \dfrac{5}{2}\).

Ответ: \(x < 0\) или \(x > \dfrac{5}{2}\).

в) \(\dfrac{x - 4}{2x + 5} \le 0\).

Числитель равен нулю при \(x = 4\).

Знаменатель равен нулю при \(x = -\dfrac{5}{2}\).

Рассматриваем промежутки: \((-\infty;\ -\dfrac{5}{2}),\ (-\dfrac{5}{2};\ 4),\ (4;\ +\infty)\).

Ответ: \(-\dfrac{5}{2} < x \le 4\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы.

1) Квадратное неравенство вида \(ax^2+bx+c>0\) решается через нахождение корней соответствующего квадратного уравнения и анализ знаков на числовой прямой.

Если \(a>0\), то выражение положительно вне корней, если \(a<0\) — между корнями.

2) При решении неравенств удобно выносить общий множитель и использовать метод интервалов, анализируя знаки множителей.

3) Для дробно-рациональных неравенств необходимо найти нули числителя и знаменателя, отметить их на числовой прямой и определить знаки дроби на каждом промежутке.

В пункте а) коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому решение лежит вне корней.

В пункте б) после приведения к произведению применяется метод интервалов.

В пункте в) точка, обращающая знаменатель в ноль, не включается в ответ, а точка, обращающая числитель в ноль, включается, так как неравенство нестрогое.