Упражнение 609 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 173

\(a_1=16,\quad P_1=3a_1\).

\(P_1=3\cdot16=48\).

\(a_2=\dfrac{a_1}{2},\ a_3=\dfrac{a_2}{2},\ldots,\ a_n=a_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

\(P_n=3a_n=3a_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

\(q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac12\).

\(P_8=48\cdot\left(\dfrac12\right)^{8-1}=48\cdot\left(\dfrac12\right)^7=\dfrac{48}{128}=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)

Пояснения:

Правила и факты, которые используются.

1) В равностороннем треугольнике, если соединить середины его сторон, получится новый (вписанный) равносторонний треугольник.

2) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны.

3) Периметр равностороннего треугольника со стороной \(a\):

\[ P=3a. \]

4) Геометрическая прогрессия — это последовательность, у которой

\[ \frac{P_{n+1}}{P_n}=q=\text{const}. \]

Почему периметры образуют геометрическую прогрессию.

В первом равностороннем треугольнике сторона \(a_1=16\). Вписанный треугольник построен по серединам сторон, значит каждая его сторона является средней линией исходного треугольника и равна половине соответствующей стороны:

\[ a_2=\frac{a_1}{2}. \]

Точно так же во втором треугольнике строится третий, поэтому:

\[ a_3=\frac{a_2}{2},\quad a_4=\frac{a_3}{2},\ \ldots \]

Следовательно, все стороны образуют геометрическую прогрессию с знаменателем \(\dfrac12\):

\[ a_n=a_1\left(\frac12\right)^{n-1}. \]

Периметры равны \(P_n=3a_n\), поэтому:

\[ P_n=3a_1\left(\frac12\right)^{n-1}, \] и

\[ \frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac12. \]

Значит, периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q=\dfrac12\).

Нахождение периметра восьмого треугольника.

Первый периметр:

\[ P_1=3\cdot16=48. \]

Тогда восьмой периметр:

\[ P_8=P_1\left(\frac12\right)^7=\frac{48}{128}=\frac{3}{8}\ \text{см}. \]