Упражнение 507 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Обозначим числитель дроби \(x\), а знаменатель — \(y\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{x^2}{y-1}=2,  /\times(y-1)\\[8pt] \dfrac{x-1}{y+1}=\dfrac{1}{4} /\times4(y+1)\end{cases}\) 

ОДЗ: \(y\ne1\),  \(y \ne-1\)

\(\begin{cases} x^2=2(y-1), \\ 4(x-1)=y+1\end{cases}\) 

\(\begin{cases} x^2=2y-2, \\ 4x-4=y+1\end{cases}\) 

\(\begin{cases} x^2=2(4x-5)-2, \\ y = 4x-5\end{cases}\) 

\(x^2=2(4x-5)-2\)

\(x^2=8x-10-2\)

\(x^2=8x-12\)

\(x^2-8x+12=0\)

\(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=\)

\(=64-48=16 > 0\) - два корня.

\(x_1=\dfrac{8+4}{2\cdot1}=\dfrac{12}{2}=6\).

\(x_2=\dfrac{8-4}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).

Если \(x = 6\), то

\(y = 4\cdot6-5 =24 - 5 = 19\).

Если \(x=2\), то

\(y=4\cdot2-5 = 8 - 5=3\).

Ответ: \(\dfrac{2}{3}\) или \(\dfrac{6}{19}\).

Пояснения:

Так как речь идёт об обыкновенной дроби, удобно ввести обозначения: \(x\) — числитель, \(y\) — знаменатель. Это позволяет строго записать условия задачи в виде уравнений.

Первое условие переводится в уравнение \(\dfrac{x^2}{y-1}=2\), а второе — в уравнение \(\dfrac{x-1}{y+1}=\dfrac{1}{4}\). Из этих уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки, учитывая то, что знаменатели уравнений должны быть отличны от нуля (ОДЗ).

Каждое дробное уравнение приводится к целому виду умножением на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Из второго уравнения удобно выразить \(y\) через \(x\), так как получается линейное выражение. После подстановки в первое уравнение получаем квадратное уравнение относительно \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого значения \(x\), находим соответствующее значение \(y\).

Обе найденные дроби удовлетворяют исходным условиям, поэтому возможны два ответа: \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{6}{19}\).

а) \(\begin{cases}(x-2y)(x+3y)=0,\\ x^2-y^2=12\end{cases}\)

1) \(\begin{cases}x-2y=0,\\ x^2-y^2=12\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2y,\\ (2y)^2-y^2=12\end{cases}\)

\( (2y)^2-y^2=12 \)

\(4y^2-y^2=12 \)

\(3y^2=12 \)

\(y^2 = \frac{12}{3}\)

\(y^2=4 \)

\(y = \pm\sqrt4\)

\(y=2 \text{ или } y=-2 \)

Если \(y=2\), то

\(x=2\cdot 2=4\).

Если \(y=-2\), то

\(x=2\cdot(-2)=-4\).

2) \(\begin{cases}x+3y = 0,\\ x^2-y^2=12\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-3y,\\ (-3y)^2-y^2=12\end{cases}\)

\((-3y)^2-y^2=12\)

\( 9y^2-y^2=12\)

\(8y^2=12 \)

\(y^2=\frac{12}{8} \)

\(y^2=\frac{3}{2} \)

\(y = \pm\sqrt{\frac32}\)

\(y=\frac{\sqrt6}{2} \text{ или } y=-\frac{\sqrt6}{2} \)

Если \(y=\dfrac{\sqrt6}{2}\), то

\(x=-3\cdot\dfrac{\sqrt6}{2}=-\dfrac{3\sqrt6}{2}\).

Если \(y=-\dfrac{\sqrt6}{2}\), то

\(x=-3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt6}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt6}{2}\).

Ответ: \((4;2),\;(-4;-2),\)

\(\;\left(-\dfrac{3\sqrt6}{2};\dfrac{\sqrt6}{2}\right),\;\left(\dfrac{3\sqrt6}{2};-\dfrac{\sqrt6}{2}\right)\).

б) \(\begin{cases}x^2-4xy+3y^2+2x-6y=0,\\ x^2-xy+y^2=7.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-3xy -xy+3y^2+2x-6y=0,\\ x^2-xy+y^2=7.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x(x-3)y - y(x-3y)+2(x-3y)=0,\\ x^2-xy+y^2=7.\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-3y) (x - y+2)=0,\\ x^2-xy+y^2=7.\end{cases}\)

1) \(\begin{cases} x-3y=0,\\ x^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=3y,\\ (3y)^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

\((3y)^2-3y\cdot y+y^2=7 \)

\(9y^2-3y^2+y^2=7 \)

\(7y^2=7 \)

\(y^2=1 \)

\(y = \pm\sqrt1\)

\(y=1 \text{ или } y=-1 \)

Если \(y=1\), то

\(x=3\cdot1 = 3\).

Если \(y=-1\), то

\(x=3\cdot(-1) = -3\).

2) \(\begin{cases} x-y+2=0,\\ x^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=y-2,\\ (y-2)^2-(y-2)y+y^2=7\end{cases}\)

\((y-2)^2-(y-2)y+y^2=7 \)

\( y^2-4y+4-\cancel{y^2}+2y+\cancel{y^2}=7 \)

\(y^2-2y+4-7 = 0 \)

\(y^2-2y-3=0 \)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(=4 + 12 = 16 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(y_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(y_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Если \(y=3\), то

\(x = 3 - 2=1\).

При \(y=-1\), то

\(x=-1-2=-3\).

Ответ: \((3;1),\;(-3;-1),\;(1;3)\).

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1) Если произведение равно нулю:

\\(\;ab=0\Rightarrow a=0\) или \(b=0\).

2) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D >0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

3) Вынесение общего множителя:

\(\;ab+ac=a(b+c)\).

4) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

5) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

6) Неполное квадратное уравнение:

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

Пояснение к пункту а):

Первое уравнение уже записано как произведение двух множителей. Поэтому рассматриваем два случая: каждый множитель по очереди равен нулю, то есть решаем совокупность систем уравнений. В каждом случае подставляем найденную связь между \(x\) и \(y\) во второе уравнение и получаем уравнение только с одной переменной \(y\). После нахождения \(y\) находим соответствующий \(x\).

Пояснение к пункту б):

В первом уравнении удобно сгруппировать члены так, чтобы появился общий множитель \((x-3y)\). Тогда всё уравнение превращается в произведение

\((x-3y)(x-y+2)=0\).

Поэтому рассматриваем два случая: каждый множитель по очереди равен нулю, то есть решаем совокупность систем уравнений. В каждом случае подставляем найденную связь между \(x\) и \(y\) во второе уравнение и получаем уравнение только с одной переменной \(y\). После нахождения \(y\) находим соответствующий \(x\).