Упражнение 508 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Обозначим числитель дроби \(x\), а знаменатель — \(y\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{x+7}{y^2}=\dfrac{3}{4}, /\times4y^2\\ \dfrac{x}{y+6}=\dfrac{1}{2}  /\times2(y+6)\end{cases}\) 

ОДЗ: \(y \ne 0\)  и \(y \ne 6\).

\(\begin{cases} 4(x+7) = 3y^2, \\ 2x =y+6 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} 4x+28 = 3(2x-6)^2, \\ y= 2x-6 \end{cases}\) 

\(4x + 28 = 3(2x-6)^2\)

\(4x + 28 = 3(4x^2 - 24x + 36)\)

\(4x + 28 = 12x^2 - 72x + 108\)

\(12x^2 - 72x + 108 - 4x - 28 = 0\)

\(12x^2 - 76x + 80 = 0\)   \(/ : 4\)

\(3x^2 - 19x + 20 = 0\)

\(D = (-19)^2 - 4\cdot3\cdot20 =\)

\( = 361 - 240 = 121 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt {121} = 11\).

\(x_1 = \frac{19 + 11}{2\cdot3} = \frac{30}{6} = 5\).

\(x_2 = \frac{19 - 11}{2\cdot3} = \frac{8}{6} = \frac43 = 1\frac13\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 5\), то

\(y= 2\cdot5-6 = 10 - 6 = 4\).

Ответ: \(\dfrac{5}{4}\).

Пояснения:

Так как в задаче говорится об обыкновенной дроби, удобно обозначить числитель через \(x\), а знаменатель через \(y\). Это позволяет перевести текст условия в систему уравнений.

Первое условие «увеличить числитель на 7 и возвести знаменатель в квадрат» записывается в виде дроби \(\dfrac{x+7}{y^2}=\dfrac{3}{4}\).

Второе условие «знаменатель увеличить на 6» приводит к дроби \(\dfrac{x}{y+6}=\dfrac{1}{2}\).

Из этих уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки, учитывая то, что знаменатели уравнений должны быть отличны от нуля (ОДЗ).

Каждое дробное уравнение приводится к целому виду умножением на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Из второго уравнения удобно выразить \(y\) через \(x\), так как получается линейное выражение. После подстановки в первое уравнение получаем квадратное уравнение относительно \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Учитывая то, что числитель и знаменатель обыкновенной дроби могут быть только целыми числами, один из корней исключаем.

В результате получаем дробь \(\dfrac{5}{4}\), которая удовлетворяет всем условиям задачи.

а) \(\begin{cases}x^2+xy-2y^2-x+y=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+xy-y^2-y^2-x+y=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2-y^2)+(xy-y^2)-(x-y)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)(x+y)+y(x-y)-(x-y)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)(x+y+y-1)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)(x+2y-1)=0,\\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

1) \(\begin{cases}x-y=0,\\ x^2+y^2=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x,\\ x^2+x^2=8;\end{cases}\)

\( x^2+x^2=8 \)

\(2x^2=8 \)

\(x^2 = \frac82\)

\(x^2=4 \)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x=2 \text{ или } x=-2 \)

Если \(x = 2\), то \(y = 2\).

Если \(x = -2\), то \(y = -2\).

2) \(\begin{cases}x+2y-1=0,\\ x^2+y^2=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=1-2y,\\ (1-2y)^2+y^2=8\end{cases}\)

\( (1-2y)^2+y^2=8 \)

\( 1-4y+4y^2+y^2-8=0\)

\( 5y^2-4y-7=0\)

\( D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-7)=\)

\(=16+140=156 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{156}=\sqrt{4\cdot39}=2\sqrt{39} \).

\( y_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{39}}{2\cdot5}=\frac{2\pm \sqrt{39}}{5}. \)

Если \( y=\frac{2\pm \sqrt{39}}{5}, \) то

\(x = 1 - 2\cdot\frac{2+ \sqrt{39}}{5} = \)

\(=1 ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac{4+ 2\sqrt{39}}{5} = \)

\(=\frac{5 - 4 - 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 -2\sqrt{39}}{5}. \)

Если \( y=\frac{2 - \sqrt{39}}{5}, \) то

\(x = 1 - 2\cdot\frac{2- \sqrt{39}}{5} = \frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}. \)

Ответ: \((2;\,2)\), \((-2;\,-2)\),

\(\left(\dfrac{1-2\sqrt{39}}{5};\dfrac{2+\sqrt{39}}{5}\right),\)

\(\;\left(\dfrac{1+2\sqrt{39}}{5};\dfrac{2-\sqrt{39}}{5}\right).\)

б) \(\begin{cases}x^2-6xy+5y^2-x+5y=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-5xy-xy+5y^2-x+5y=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x(x-5y)-y(x-5y)-(x-5y)=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-5y)(x-y-1)=0,\\ x^2-20y^2=5.\end{cases}\)

1) \(\begin{cases}x-5y=0,\\ x^2-20y^2=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=5y,\\ (5y)^2-20y^2=5\end{cases}\)

\((5y)^2-20y^2=5 \)

\(25y^2-20y^2=5\)

\(5y^2=5 \)

\(y^2=1 \)

\(y = \pm\sqrt1\)

\(y=1 \text{ или } y=-1 \)

Если \(y = 1\), то

\(x = 5\cdot1 = 5\).

Если \(y = -1\), то

\(x = 5\cdot(-1) = -5\).

2) \(\begin{cases}x-y-1=0,\\ x^2-20y^2=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x= y + 1,\\ (y + 1)^2-20y^2=5\end{cases}\)

\((y+1)^2-20y^2=5 \)

\( y^2+2y+1-20y^2-5=0 \)

\(-19y^2+2y-4=0 \)  \(/\times(-1)\)

\(19y^2-2y+4=0 \)

\( D=(-2)^2-4\cdot 19\cdot 4=\)

\(=4-304=-300<0 \) - корней нет.

Ответ: \((5;1),\;(-5;-1)\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1) Если произведение равно нулю, то

\(\;ab=0 \Rightarrow a=0\) или \(b=0\).

2) Разложение на множители часто делается с помощью группировки и вынесения общего множителя:

\[ ab+ac=a(b+c). \]

3) Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D >0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

Если \(D<0\), то действительных корней нет.

4) Разность квадратов двух выражений:

\(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

5) Неполное квадратное уравнение:

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

6) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

7) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

8) Свойство арифметического квадратного корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).

Пояснение к а):

Первое уравнение удалось разложить как \((x-y)(x+2y-1)=0\), поэтому рассматриваются два случая. В каждом случае связь между \(x\) и \(y\) подставляется во второе уравнение \(x^2+y^2=8\), и находятся пары \((x;y)\).

Пояснение к б):

Первое уравнение группировкой приводится к

\((x-5y)(x-y-1)=0\).

При \(x=5y\) получаются действительные решения. При \(x=y+1\) выходит квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, поэтому действительных решений нет.