Упражнение 465 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} y \ge x^2,\\ y \le 4; \end{cases} \)

\(y = x^2\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ x - y \ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ - y \ge -x      \color{red}|\times(-1) \end{cases}\)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ y \le x \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 4\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\), радиусом \(r=2.\)

в) \( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9,\\ (x - 3)^2 + y^2 \le 9 \end{cases} \)

\(x^2 + y^2 = 9\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\), радиусом \(r=3.\)

\((x - 3)^2 + y^2 = 9\) - уравнение окружности с центром в точке \((3; 0)\), радиусом \(r=3.\)

г) \( \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1,\\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} \)

\(\color{red}(x - 2)^2 + (y + 1)^2=1\) - уравнение окружности  с центром в точке \((2; -1)\), радиусом \(r=1\).

\(\color{blue}(x - 2)^2 + (y + 1)^2=9\) - уравнение окружности с центром в точке \((2; -1)\), радиусом \(r=3\).

Пояснения:

Основные формулы и факты:

1) График функции \(y = x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. Неравенства вида \(y \ge x^2\) и \(y \le x^2\) задают соответственно область над/под этой параболой (включая её при нестрогом знаке).

2) Уравнение окружности с центром \((a; b)\) и радиусом \(R\): \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. \] Соответственно: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2 \] — круг (внутри и на окружности), \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2 \] — внутренняя область без границы, \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 \ge r^2 \] — внешняя область, включая окружность.

3) Линейное уравнение \(x - y = 0\) задаёт прямую, а неравенства \(x - y \ge 0\) и \(x - y \le 0\) — полуплоскости по разные стороны от неё.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По теореме Пифагора для исходного треугольника:

\[ x^2 + y^2 = 13^2 = 169.\]

Пусть увеличили катет \(x\) на 4 см, тогда новая гипотенуза равна \(13 + 2 = 15\) см. По теореме Пифагора для нового треугольника:

\[ (x+4)^2 + y^2 = 15^2 = 225. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 169,   /\times(-1)\\ (x+4)^2 + y^2 = 225 \end{cases} \]

\( \begin{cases} -x^2 - y^2 = -169, \\ (x+4)^2 + y^2 = 225 \end{cases} \)   \((+)\)

\[ - x^2 + (x+4)^2 = -169 + 225 \]

\[ -\cancel{x^2} + \cancel{x^2} + 8x + 16 = 56 \]

\[ 8x + 16 = 56 \]

\(8x = 56 - 16\)

\[ 8x = 40\]

\(x = \frac{40}{8}\)

\[ x = 5 \]

\[ 5^2 + y^2 = 169 \]

\[ 25 + y^2 = 169 \]

\(y^2 = 169 - 25\)

\[ y^2 = 144 \]

\( y = 12\)

\(y = -12\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны \(5\) см и \(12\) см.

Пояснения:

Исходный треугольник:

Новый треугольник:

Используемые правила и формулы:

1. Теорема Пифагора:

\(\;a^2 + b^2 = c^2\),

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - гипотенуза.

2. При изменении одного катета меняется гипотенуза, что позволяет составить второе уравнение.

3. Систему уравнений удобно решать методом сложения, предварительно умножив первое уравнение системы на \((-1)\) в результате чего получим линейное уравнение с одной переменной, решив которое найдем переменную \(x\).

4. Подставляя найденное значение \(x\) в первое уравнение системы, находим значение переменной \(y\), учитывая то, что длина не может быть отрицательной.

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).