Упражнение 467 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=kx+b\) - уравнение прямой.

Прямая, проходящая через точки \((0;3)\), \((-2;0)\):

\( \begin{cases} 3=k\cdot0+b\\ 0=k\cdot(-2)+b \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=3 \\ 2k=3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=3 \\ k=1,5 \end{cases} \)

Прямая, проходящая через точки \((0;3)\), \((2;0)\):

\( \begin{cases} 3=k\cdot0+b\\ 0=k\cdot2+b \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=3 \\ -2k=3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=3 \\ k=-1,5 \end{cases} \)

Треугольник с вершинами \((-2;0)\), \((2;0)\), \((0;3)\) задаётся системой:

\[ \begin{cases} y \ge 0,\\[4pt] y \le 1,5x + 3,\\[4pt] y \le -1,5x+3. \end{cases} \]

б) \(x^2+y^2=25\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r=5\). 

\(x^2+y^2=100\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r=10\). 

Кольцо с центром в начале координат, внутренним радиусом \(5\) и внешним радиусом \(10\) задаётся системой:

\( \begin{cases} x^{2} + y^{2} \ge 25,\\[4pt] x^{2} + y^{2} \le 100. \end{cases} \)

Пояснения:

1. Общее уравнение прямой:

\(y=kx+b\).

Неравенство \( y \le kx+b \) задаёт полуплоскость, расположенную не выше прямой \(y = kx + b\) . Неравенство \( y \ge kx + b \) задаёт полуплоскость, расположенную не ниже прямой \(y = kx + b\).

2. Уравнение окружности с центром \((0;0)\) и радиусом \(r\): \[ x^2 + y^2 = r^2. \] Неравенства вида \(x^2 + y^2 \le r^2\) задают круг (внутри и на окружности), а \(x^2 + y^2 \ge r^2\) — внешнюю область (вне круга и на окружности).

Пусть \(x\) ч потребуется первой бригаде, а \(y\) ч - второй (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По условию первая бригада работает быстрее на 4 часа:

\[ y - x = 4. \]

Производительность первой бригады равна \(\dfrac{1}{x}\) участка в час, второй — \(\dfrac{1}{y}\) участка в час. За 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 участков, значит:

\[ 24\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 5. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y - x = 4,\\ 24\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) = 5 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{x + 4} = 5 \end{cases} \]

\(\dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{x + 4} = 5 \)  \(/\times x(x+4)\)

\(24(x + 4) + 24x= 5x(x + 4)\)

\(24x + 96 + 24x = 5x^2 + 20x\)

\(48x + 96 = 5x^2 + 20x\)

\(5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0\)

\(5x^2 -28x - 96 = 0\)

\( D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) =\)

\(=784 + 1920 = 2704 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{2704} = 52. \)

\( x_1 = \frac{28 + 52}{2\cdot5} = \frac{80}{10} = 8\).

\( x_2 = \frac{28 - 52}{2\cdot5} = -\frac{24}{10} = -2,4\)  - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 8\), то

\[ y = 8 + 4 = 12. \]

Ответ: первая бригада заасфальтирует участок за 8 ч, вторая бригада — за 12 ч.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1. Производительность равна величине, обратной времени выполнения работы: \(\dfrac{1}{t}\).

2. При совместной работе производительности складываются.

3. Разность во времени выполнения работы учитывается отдельным уравнением.

4. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как нужно найти время работы каждой бригады. Разность во времени работы дала первое уравнение системы, а условие о совместной работе за 24 часа даёт второе уравнение системы.

После подстановки получили квадратное уравнение, из которого нашли время работы каждой бригады. Отрицательное значение отбросили, так как время не может быть отрицательным.