Упражнение 466 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y \le 3x - 1,\\ y \ge kx + b \end{cases} \)

а) Прямые должны быть параллельны и вторая прямая должна быть правее первой прямой, поэтому:

\( k = 3, b < -1.\)

б) Прямые должны пересекаться, поэтому:

\(b\) - любое число, \( k \ne 3. \)

в) Прямые должны совпадать:

\( k = 3,\; b = -1. \)

Система может не иметь решений, если прямые параллельны и вторая прямая  расположена левее, т.е. при \( k = 3,\quad b > -1. \)

Пояснения:

1. Неравенство \( y \le 3x - 1 \) задаёт полуплоскость, расположенную не выше прямой \(y = 3x - 1\) (включая саму прямую).

Неравенство \( y \ge kx + b \) задаёт полуплоскость, расположенную не ниже прямой \(y = kx + b\) (включая прямую).

Решения системы — пересечение этих двух полуплоскостей, то есть все точки, для которых одновременно выполняются оба условия.

2. Параллельные и пересекающиеся прямые.

Наклон прямой определяется коэффициентом при \(x\). Поэтому:

\[ l_1 \parallel l_2 \iff 3 = k. \]

Если \(k \ne 3\), прямые пересекаются в одной точке, значит границы полуплоскостей образуют вершину угла, а пересечение полуплоскостей даёт угол.

3. Полоса.

Полоса на плоскости — это множество точек между двумя параллельными прямыми. В нашей системе это возможно только при \(k = 3\) и разных свободных членах. Чтобы пересечение полуплоскостей было именно между прямыми, нижняя граница должна быть ниже верхней: \[ 3x + b \le 3x - 1 \;\Longrightarrow\; b \le -1. \]

4. Прямая и отсутствие решений.

Когда обе границы совпадают (\(k = 3,\ b = -1\)), система превращается в равенство \(y = 3x - 1\), то есть множество решений — одна прямая.

Когда \(k = 3,\ b > -1\), прямая \(y = 3x + b\) выше, чем \(y = 3x - 1\). Тогда для любого \(x\) выполняется \[ 3x + b > 3x - 1, \] и найти \(y\), удовлетворяющее одновременно \[ y \ge 3x + b,\quad y \le 3x - 1, \] невозможно, поэтому решений нет.

5. Угол.

При \(k \ne 3\) прямые пересекаются. В точке пересечения обе неравенства выполняются на границе (равенство). По одну сторону от вершины пересечение полуплоскостей образует «щель» между прямыми, уходящую в бесконечность — это и есть угол.

Пусть \(x\) ч потребуется первому комбайнеру, а второму — через \(y\) ч (\(x>0\) и \(y > 0\)). По условию первый работает быстрее на 24 часа:

\[ y - x = 24. \]

Производительность первого комбайнёра равна \(\dfrac{1}{x}\) участка в час, второго — \(\dfrac{1}{y}\) участка в час. Весь участок убран за 35 часов, тогда:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{35} \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y - x = 24,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{35} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 24,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 24} = \dfrac{1}{35} \end{cases} \]

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35} \)   \(/\times 35x(x+24)\)

\(35(x+24) + 35x = x(x+24)\)

\(35x + 840 + 35x = x^2 + 24x\)

\(70x + 840 = x^2 + 24x\)

\(x^2 + 24x - 70x - 840 = 0\)

\(x^2 - 46x -840 = 0\)

\( D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) =\)

\(= 2116 + 3360 = 5476 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{5476} = 74. \)

\( x_1 = \frac{46 + 74}{2\cdot1} = \frac{120}{2} = 60\).

\(x_2 = \frac{46 - 74}{2\cdot1} = -\frac{28}{2} = -14 \) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 60\), то

\(y = 60 + 24 = 84\)

Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 ч, второму — 84 ч.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1. В задачах на совместную работу удобно вводить две переменные — время работы каждого исполнителя.

2. Производительность равна величине, обратной времени выполнения работы.

3. При совместной работе производительности складываются.

4. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как нужно найти время работы каждого комбайнёра. Разность во времени работы дала первое уравнение системы, а условие о совместной работе — второе.

После подстановки система свелась к квадратному уравнению. Из двух корней подходит только положительный, так как время не может быть отрицательным.