Упражнение 464 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x \ge 0,\\ y \ge 0. \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} x \le 0,\\ y \le 0. \end{cases} \)

Пояснения:

1. Координатные четверти определяются знаками координат точки:

- I четверть: \(x > 0,\ y > 0\); включая оси → \(x \ge 0,\ y \ge 0\);

- III четверть: \(x < 0,\ y < 0\); включая оси → \(x \le 0,\ y \le 0\).

2. Ось абсцисс входит тогда, когда разрешено \(y = 0\); ось ординат входит, когда разрешено \(x = 0\).

3. Поэтому системы задают точно те области, которые требуются в условии.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По формуле площади прямоугольного треугольника:

\[ \frac{1}{2}xy = 24. \]

По теореме Пифагора:

\[ x^2 + y^2 = 10^2. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac12xy = 24,  /\times2\\ x^2 + y^2 = 10^2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 48,\\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac{48}{y},\\[6pt] \left(\frac{48}{y}\right)^2 + y^2 = 100 \end{cases} \]

\(\left(\frac{48}{y}\right)^2 + y^2 = 100\)

\(\frac{2304}{y^2} + y^2 = 100\)     \(/\times y^2\)

\(2304 + y^4 = 100y^2\)

\(y^4 - 100y^2 + 2304 = 0\)

Пусть \(y^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 100t + 2304 = 0\)

\(D = (-100)^2 - 4\cdot1\cdot2304 =\)

\(= 10000 - 9216 = 784 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {784} = 28\).

\(t_1 = \frac{100 + 28}{2\cdot1} = \frac{128}{2} = 64\).

\(t_2 = \frac{100 - 28}{2\cdot1} = \frac{72}{2} = 36\).

1) Если \(t = 64\), то

\(y^2 = 64\)

\(y = -8\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 8\), тогда

\(x = \frac{48}{8} = 6\).

2) Если \(t = 36\), то

\(y^2 = 36\)

\(y = -6\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 6\), тогда

\(x = \frac{48}{6} = 8\).

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны \(6\) см и \(8\) см.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Площадь прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2}ab, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

2. Теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника.

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к биквадратному уравнению, которое через замену переменной приводим к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).