Упражнение 462 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} y \ge x - 3,\\ y \le -x + 3. \end{cases} \)

\(y = x - 3\)

\(y = -x + 3\)

Неравенства в следующих пунктах удобно привести к виду \(y \,\square\, kx + b\), где \(\square\) - знак неравенства.

б) \( \begin{cases} x - 2y < 4,\\ x + y < 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} - 2y < -x+4,  \color{red}{|:(-2)} \\ y < -x+3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y > 0,5x-2, \\ y < -x+3 \end{cases} \)

\(y = 0,5x-2\)

\(y = -x+3\)

в) \(\begin{cases} -2x + y < -1,\\ x - y > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases}  y < 2x-1,\\ - y > -x+3   \color{red}{|\times(-1)} \end{cases} \)

\(\begin{cases}  y < 2x-1,\\ y < x-3  \end{cases} \)

\(y = 2x - 1\)

\(y = x - 3\)

г) \(\begin{cases} x + y \ge 3,\\ x - y < 2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} y \ge -x+3,\\ - y < -x+2      \color{red}{|\times(-1)} \end{cases} \)

\(\begin{cases} y \ge -x+3,\\  y > x-2 \end{cases} \)

\(y = - x+3\)

\(y = x - 2\)

Пояснения:

Правила:

Если после преобразований получаем неравенство вида \(y > kx + b\), то решения — все точки выше прямой \(y = kx + b\); при \(y < kx + b\) — ниже прямой.

Если знак нестрогий (\(\le\) или \(\ge\)), то прямая входит в множество решений (на графике её проводят сплошной линией). Если знак строгий (\(<\) или \(>\)), прямая не входит в множество решений (на графике её изображают штриховой).

Система неравенств означает, что нужно взять пересечение полуплоскостей: точка является решением системы, только если она удовлетворяет всем неравенствам сразу.

Пусть скорость первого тела равна \(x\) м/с, скорость второго — \(y\) м/с (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По условию первое тело за 6 с прошло столько же, сколько второе за 8 с:

\[ 6x = 8y. \]

Через 15 с первое тело прошло \(15x\) м, второе — \(15y\) м, тогда по теореме Пифагора:

\[ (15x)^2 + (15y)^2 = 3^2. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 6x = 8y,\\ (15x)^2 + (15y)^2 = 3^2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac86y,\\ 225x^2 + 225y^2 = 9 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac43y,\\ 225\cdot\left(\frac43y\right)^2 + 225y^2 = 9 \end{cases} \]

\(225\cdot\left(\frac43y\right)^2 + 225y^2 = 9\)

\( ^{\color{blue}{25}}\cancel{225}\cdot\frac{16}{\cancel9_ {\color{blue}{1}}  }y^2 + 225y^2 = 9\)

\(25\cdot16y^2 + 225y^2 = 9\)

\(400y^2 + 225y^2 = 9\)

\(625y^2 = 9\)

\(y^2 = \frac{9}{625}\)

\(y = \pm\sqrt{\frac{9}{625}}\)

\(y_1 = \frac{3}{25}\),

\(y_2 = -\frac{3}{25}\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = \frac{3}{25}\), то

\(x = \frac{4}{\cancel3}\cdot\frac{\cancel3}{25} =\frac{4}{25}\).

Ответ: скорость первого тела равна \(\dfrac{4}{25} = 0,16\) м/с, скорость второго — \(\dfrac{3}{25} = 0,12 \) м/с.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути: \(\; s = vt \).

2. Если движение происходит по перпендикулярным направлениям, расстояние между телами определяется по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - его гипотенуза.

3. Системы уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к неполному квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

Подробное объяснение:

Первое условие задачи связывает скорости тел через равенство пройденных расстояний за разное время. Второе условие связано с расстоянием между телами через 15 секунд и использует теорему Пифагора, так как движения происходят под прямым углом.

После составления системы и её решения были найдены скорости обоих тел. При этом учли то, что скорость не может быть отрицательной.