Упражнение 450 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(ax + by > c\)

а) \(a = 0,\ b = 1,\ c = 3:\)

\(0\cdot x + 1\cdot y > 3,\)

\(y > 3.\)

б) \(a = 1,\ b = 0,\ c = 3\).

\(1\cdot x + 0\cdot y > 3\)

\(x > 3.\)

Пояснения:

Общие правила:

1) Равенство вида \(ax + by = c\) задаёт прямую на координатной плоскости.

2) Неравенства \(ax + by > c\) или \(ax + by < c\) задают одну из полуплоскостей, на которую эта прямая делит плоскость.

3) При строгом неравенстве прямая не входит в множество решений.

Пояснение к пункту а)

Так как \(a = 0\), то переменная \(x\) исчезает из неравенства. Получается условие только на \(y\):

\[y > 3.\]

Это все точки выше горизонтальной прямой \(y = 3\). Прямая не входит в решение, так как знак строгий.

Пояснение к пункту б)

Так как \(b = 0\), переменная \(y\) исчезает. Получаем неравенство:

\[x > 3.\]

Это все точки правее вертикальной прямой \(x = 3\). Прямая не входит, потому что знак строгий.

Таким образом, в обоих случаях необходимо построить прямую и выделить соответствующую полуплоскость.

\( \begin{cases} y=x^2+1, \\ y=kx \end{cases} \)

\( kx=x^2+1 \)

\( x^2-kx+1=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -k\),  \(c = 1\)

\( D=b^2-4ac=(-k)^2-4\cdot1\cdot1=\)

\(=k^2-4 \)

Уравнение имеет один корень, если

\( k^2-4=0 \)

\(k^2 = 4\)

\( k=\pm2 \)

Ответ: при \(k=2\) или \(k=-2\) прямая имеет одну общую точку с параболой.

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac\).

Чтобы была одна точка пересечения графиков, дискриминант полученного уравнения должен быть равен нулю.

Здесь \(D=k^2-4=0\), поэтому значения \(k=2\) или \(k=-2\).

Получается парабола \(y=x^2+1\) и прямая \(y=kx\) будут иметь одну общую точку, если \(k=2\) или \(k=-2\).