Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) \(xy < 4\); б) \(xy > -6\).
1) Разберите совместно пример 3, приведённый в пункте 23.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания и исправьте ошибки, если они допущены.
Введите текст
а)
Неравенство \(xy < 4\) перепишем в виде
\[y < \frac{4}{x}, \quad x \ne 0.\]
Граница множества решений — гипербола
\[y = \frac{4}{x}.\]
Поскольку знак неравенства строгий, точки гиперболы в решение не входят (граница изображается штриховой линией).
Множество решений — все точки плоскости (кроме оси \(x=0\)), лежащие по вертикали ниже графика \(y = \dfrac{4}{x}\) при каждом фиксированном значении \(x\).
б)
Неравенство \(xy > -6\) перепишем в виде
\[y > -\frac{6}{x}, \quad x \ne 0.\]
Граница множества решений — гипербола
\[y = -\frac{6}{x}.\]
Знак неравенства также строгий, поэтому точки гиперболы не входят в решение (граница — штриховая линия).
Множество решений — все точки плоскости (кроме оси \(x=0\)), лежащие по вертикали выше графика \(y = -\dfrac{6}{x}\) при каждом фиксированном \(x\).
Пояснения:
1. Общий вид неравенств:
Если дано неравенство вида \(xy \,\square\, k\) (где \(\square\) — знак \< или \>), то удобно выразить одну переменную через другую:
\[xy \,\square\, k \;\Longrightarrow\; y \,\square\, \frac{k}{x}, \quad x \ne 0.\]
Это означает, что границей множества решений является гипербола \(y = \dfrac{k}{x}\), а сами решения — точки, лежащие выше или ниже этой гиперболы.
2. Как понять, выше или ниже нужно заштриховать:
После того как неравенство приведено к виду \(y \,\square\, f(x)\), всегда удобно думать так:
- если \(y > f(x)\) — заштриховываем область выше графика;
- если \(y < f(x)\) — заштриховываем область ниже графика.
Знак строгий (\(<\) или \(\>\)) — границу рисуем штриховой и не включаем её в решение; знак нестрогий (\(\le\), \(\ge\)) — границу рисуем сплошной и включаем.
Пояснение к пункту а)
Неравенство \(xy < 4\) приводим к виду
\[y < \frac{4}{x}.\]
График \(y = \dfrac{4}{x}\) — гипербола с ветвями в I и III квадрантах, асимптоты — оси \(Ox\) и \(Oy\). Для каждого фиксированного \(x\) множество решений — все точки с такой же абсциссой, у которых ордината меньше, чем \(\dfrac{4}{x}\). Значит, вся область «под» гиперболой (по вертикали) является решением. Линию самой гиперболы не включаем (строгий знак).
Пояснение к пункту б)
Неравенство \(xy > -6\) приводим к виду
\[y > -\frac{6}{x}.\]
График \(y = -\dfrac{6}{x}\) — гипербола с ветвями во II и IV квадрантах. Теперь для каждого \(x\) подходящие точки — те, у которых значение \(y\) больше, чем \(-\dfrac{6}{x}\), то есть область «над» гиперболой. Граница также штриховая, так как знак строгий.
Итак, для построения решения в обоих пунктах нужно: построить соответствующую гиперболу, нарисовать её штриховой линией и заштриховать нужную часть плоскости — ниже гиперболы \(y = \dfrac{4}{x}\) в пункте а) и выше гиперболы \(y = -\dfrac{6}{x}\) в пункте б).
Вернуться к содержанию учебника