Упражнение 453 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(xy < 4\)

\[y < \frac{4}{x}, \quad x \ne 0.\]

Граница множества решений — гипербола

\(y = \frac{4}{x}\)

\((2; 4):\)  \(2\cdot4 < 4\) - неверно.

\((0; -2):\)  \(0\cdot(-2) < 4\) - верно.

\((-2; -4):\)  \((-2)\cdot(-4) < 4\) - неверно.

б) \(xy > -6\)

Граница множества решений — гипербола

\(y = -\frac{6}{x}\)

\((-3; 4):\)  \(-3\cdot4 >-6\) - неверно.

\((1; 1):\)  \(1\cdot1 >-6\) - верно.

\((4; -4):\)  \(4\cdot(-4) >-6\) - неверно.

Пояснения:

1. Общий вид неравенств:

Если дано неравенство вида \(xy \,\square\, k\) (где \(\square\) — знак \(<\) или \(>\)), то удобно выразить одну переменную через другую:

\[xy \,\square\, k \;\Longrightarrow\; y \,\square\, \frac{k}{x}, \quad x \ne 0.\]

Это означает, что границей множества решений является гипербола \(y = \dfrac{k}{x}\), а сами решения — точки, лежащие выше или ниже этой гиперболы.

2. Гипербола делит плоскость на три части, чтобы понять, какую из них заштриховать надо подставить координаты любой точки из каждой области и проверить обращается ли неравенство в верное. 

Знак строгий (\(<\) или \(\ > \)) — границу рисуем штриховой и не включаем её в решение; знак нестрогий (\(\le\), \(\ge\)) — границу рисуем сплошной и включаем.

а) \( 0{,}2x(x-1)-x(0{,}2x+0{,}5)<0{,}6x-4 \)

\[ 0{,}2x^2-0{,}2x-0{,}2x^2-0{,}5x<0{,}6x-4 \]

\[ -0{,}7x<0{,}6x-4 \]

\[ -0{,}7x-0{,}6x<-4 \]

\( -1{,}3x<-4 \)  \(/ : (-1,3)\)

\[ x>\frac{-4}{-1{,}3} \]

\[ x>\frac{40}{13} \]

\[ x>3\frac{1}{13} \]

Ответ: \(x\in(3\frac{1}{13}; +\infty)\).

б) \(1{,}2x(3-x)+0{,}4x(3x-1) < x+1{,}1\)

\( 3{,}6x-\cancel{1{,}2x^2}+\cancel{1{,}2x^2}-0{,}4x < x+1{,}1\)

\( 3{,}2x < x+1{,}1\)

\[ 3{,}2x-x<1{,}1 \]

\( 2{,}2x<1{,}1 \)   \(/ : 2,2\)

\[ x<\frac{1{,}1}{2{,}2} \]

\[ x<\frac{11}{22} \]

\[ x<\frac{1}{2} \]

\[ x<0{,}5 \]

Ответ: \(x \in (-\infty; \, 0,5)\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Распределительный закон умножения:

\( a(b+c)=ab+ac,\)

\(a(b-c)=ab-ac .\)

Это правило позволяет раскрывать скобки.

2. Приведение подобных слагаемых:

\[ ax+bx=(a+b)x \]

Слагаемые с одинаковой буквенной частью объединяются.

3. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую:

При переносе через знак неравенства знак слагаемого меняется на противоположный.

4. Деление или умножение неравенства на отрицательное число:

Если обе части неравенства делят или умножают на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Пояснение к пункту а).

Дано неравенство

\(0{,}2x(x-1)-x(0{,}2x+0{,}5) < 0{,}6x-4\).

Сначала раскрываем скобки отдельно:

\[ 0{,}2x(x-1)=0{,}2x^2-0{,}2x \]

\[ x(0{,}2x+0{,}5)=0{,}2x^2+0{,}5x \]

Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому после раскрытия скобок все знаки внутри меняются:

\[ 0{,}2x^2-0{,}2x-0{,}2x^2-0{,}5x<0{,}6x-4. \]

Теперь приводим подобные члены. Квадратные члены уничтожаются:

\[ 0{,}2x^2-0{,}2x^2=0. \]

Остаётся:

\[ -0{,}2x-0{,}5x=-0{,}7x. \]

Получаем:

\[ -0{,}7x<0{,}6x-4. \]

Переносим \(0{,}6x\) влево:

\[ -0{,}7x-0{,}6x<-4 \]

\[ -1{,}3x<-4. \]

Теперь делим обе части на отрицательное число \(-1{,}3\). Из-за этого знак неравенства меняется:

\[ x>\frac{-4}{-1{,}3}=\frac{40}{13}. \]

Значит, решением является все числа, которые больше \(3\frac{1}{13}\).

Пояснение к пункту б).

Дано неравенство

\(1{,}2x(3-x)+0{,}4x(3x-1) < x+1{,}1\).

Сначала раскрываем скобки:

\[ 1{,}2x(3-x)=3{,}6x-1{,}2x^2 \]

\[ 0{,}4x(3x-1)=1{,}2x^2-0{,}4x. \]

Подставляем в неравенство:

\( 3{,}6x-1{,}2x^2+1{,}2x^2-0{,}4x < x+1{,}1.\)

Снова приводим подобные члены. Квадратные члены сокращаются:

\[ -1{,}2x^2+1{,}2x^2=0. \]

Линейные члены складываем:

\[ 3{,}6x-0{,}4x=3{,}2x. \]

Получаем:

\( 3{,}2x < x+1{,}1.\)

Переносим \(x\) влево:

\[ 3{,}2x-x<1{,}1 \]

\[ 2{,}2x<1{,}1. \]

Делим обе части на положительное число \(2{,}2\). Знак неравенства не меняется:

\[ x<\frac{1{,}1}{2{,}2}=0{,}5. \]

Значит, решением является все числа, которые меньше \(0{,}5\).