Вернуться к содержанию учебника
Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) \(y \le x^2 - 4\);
б) \(y \ge (x - 2)^2 - 1\);
в) \(x^2 + y^2 \le 25\);
г) \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4\).
Введите текст
а)
Граница: парабола \(y = x^2 - 4\).
Множество решений: все точки на параболе и ниже её (так как \(y \le x^2 - 4\)).
б)
Граница: парабола \(y = (x - 2)^2 - 1\).
Множество решений: все точки на параболе и выше её (так как \(y \ge (x - 2)^2 - 1\)).
в)
Граница: окружность \(x^2 + y^2 = 25\).
Множество решений: все точки внутри окружности, включая саму окружность (так как знак не строгий \(\le\)).
г)
Граница: окружность \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\).
Множество решений: все точки внутри этой окружности и на ней (так как \(\le\)).
Пояснения:
Основные правила, используемые при решении:
1) Уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c\) задаёт параболу. Неравенства вида \(y \le f(x)\) или \(y \ge f(x)\), где \(f(x)\) — квадратный трёхчлен, задают полуплоскость относительно параболы: ниже графика (\(\le\)) или выше (\(\ge\)).
2) Уравнение вида \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\) задаёт окружность с центром в точке \((x_0; y_0)\) и радиусом \(R\). Неравенства \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R^2\) и \(\le R^2\) задают соответственно внутренность окружности без границы и с границей.
Пояснение к пункту а)
Функция \(y = x^2 - 4\) — парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке \((0; -4)\). Неравенство \(y \le x^2 - 4\) означает, что для каждой точки \((x; y)\) её координата \(y\) не больше значения параболы. Поэтому штрихуется область под графиком параболы, включая саму линию.
Пояснение к пункту б)
График \(y = (x - 2)^2 - 1\) — парабола, полученная переносом стандартной параболы \(y = x^2\) на 2 единицы вправо и 1 единицу вниз. Её вершина в точке \((2; -1)\), ветви также вверх.
Неравенство \(y \ge (x - 2)^2 - 1\) задаёт все точки, у которых \(y\) не меньше значения параболы, то есть область над параболой, включая её.
Пояснение к пункту в)
Выражение \(x^2 + y^2\) — это квадрат расстояния от точки \((x; y)\) до начала координат \((0; 0)\). Уравнение
\[x^2 + y^2 = 25\]
описывает окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(R = 5\), так как \(R^2 = 25\).
Неравенство \(x^2 + y^2 < 25\) означает, что квадрат расстояния меньше \(25\), то есть расстояние от точки до начала координат меньше \(5\). Значит, это все точки внутри окружности радиуса \(5\), но сама окружность не входит (строгий знак).
Пояснение к пункту г)
Запишем окружность:
\[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4.\]
Центр окружности \((1; 2)\), радиус \(R = 2\), так как \(R^2 = 4\).
Неравенство \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4\) говорит, что расстояние от точки \((x; y)\) до центра \((1; 2)\) не превосходит \(2\). Значит, на координатной плоскости нужно изобразить круг радиуса \(2\) с центром \((1; 2)\) вместе с границей (окружностью).
Итак, для каждого пункта строим соответствующую параболу или окружность как границу и затем отмечаем нужную часть плоскости: ниже/выше параболы или внутри круга.
Вернуться к содержанию учебника