Упражнение 451 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x \ge 3\)

б) \(y < -1\)

в) \(1 < x < 4\)

г) \(-3 \le y \le 3\)

Пояснения:

Общие правила:

1) Неравенство вида \(x \ge a\) задаёт вертикальную полуплоскость.

2) Неравенство вида \(y < b\) задаёт горизонтальную полуплоскость.

3) Двойные неравенства, такие как \(1 < x < 4\), задают полосу между двумя параллельными прямыми.

4) Нестрогий знак (\(\le\), \(\ge\)) означает включение границы, строгий — исключение.

Пояснение к пункту а)

Неравенство \(x \ge 3\) означает, что все подходящие точки находятся на прямой \(x = 3\) и правее её. Это правая полуплоскость, включая границу.

Пояснение к пункту б)

Неравенство \(y < -1\) описывает всю область ниже прямой \(y = -1\). Прямая не включена.

Пояснение к пункту в)

Двойное неравенство \(1 < x < 4\) задаёт вертикальную полосу между прямыми \(x = 1\) и \(x = 4\), но сами прямые не входят в решение.

Пояснение к пункту г)

Неравенство \(-3 \le y \le 3\) задаёт горизонтальную полосу между прямыми \(y = -3\) и \(y = 3\), включая обе границы.

\((x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25\) и \(y = kx\) 

\(M(1;\,2)\) - общая точка.

\(2 = k \cdot 1\)

\(k = 2\)

Уравнение прямой: \(y = 2x\).

\(\begin{cases}y = 2x,\\ (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 2x,\\ (x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25 \end{cases}\)

\((x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25\)

\(x^2 - 8x + 16 + 4x^2 - 24x + 36 - 25 = 0\)

\(5x^2 - 32x + 27 = 0\)

\(D = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 =\)

\(=1024 - 540 = 484 > 0\) -2 корня.

\(\sqrt{484} = 22\).

\(x_1 = \dfrac{32 + 22}{2\cdot5} = \dfrac{54}{10} = 5,4\)

\(x_2 = \dfrac{32 - 22}{2\cdot5} = \dfrac{10}{10} = 1\)

Если \(x = 5,4\), то

\(y = 2\cdot5,4 = 10,8\).

Если \(x = 1\), то

\(y = 2\cdot1 = 2\).

Ответ: другая общая точка \((5,4; 10,8)\).

Пояснения:

Сначала определяем значение \(k\) для прямой. Если точка принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Поэтому подставляем координаты общей точки в уравнение прямой и находим значение \(k\), получаем уравнение прямой: \(y = 2x\).

Далее, чтобы найти другие общие точки окружности и прямой, составляем систему из их уравнений. При решении системы использовали метод подстановки:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Подробное объяснение решения:

Составив систему, подставляем в уравнение окружности \(y = 2x\). Получилось квадратное уравнение, корни которого соответствуют абсциссам точек пересечения.

Один корень \(x = 1\) даёт известную точку \(M\). Второй корень соответствует другой точке пересечения. Подставив найденное значение \(x\) в уравнение прямой, получили координаты второй общей точки.