Упражнение 418 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = 5x - 7\) и \(y = 3x + 1\)

\(5x - 7 = 3x + 1\)

\(5x - 3x = 1 + 7\)

\(2x = 8\)

\(x = \frac82\)

\(x = 4\)

\(y = 3\cdot 4 + 1 = 13\)

Ответ: \((4;\,13)\).

б) \(y = -3x - 2\) и \(y = 8x - 9\)

\(-3x - 2 = 8x - 9\)

\(-3x - 8x = -9 + 2\)

\(-11x = -7\)

\(x = \dfrac{7}{11}\)

\(y = 8\cdot\dfrac{7}{11} - 9 = \dfrac{56}{11} - \dfrac{99}{11} =\)

\(=-\dfrac{43}{11} = -3\frac{10}{11}\)

Ответ: \(\left(\dfrac{7}{11};\,-3\dfrac{10}{11}\right)\).

в) \(y = 0{,}4x - 5\) и \(y = -0{,}1x - 3\)

\(0{,}4x - 5 = -0{,}1x - 3\)

\(0{,}4x + 0{,}1x = -3 + 5\)

\(0{,}5x = 2\)

\(x = \frac{2}{0,5}\)

\(x = \frac{20}{5}\)

\(x = 4\)

\(y = 0{,}4\cdot 4 - 5 = 1{,}6 - 5 = -3{,}4\)

Ответ: \((4;\,-3{,}4)\).

г) \(y = 23x - 6\) и \(y = -2x + 9\)

\(23x - 6 = -2x + 9\)

\(23x + 2x = 9 + 6\)

\(25x = 15\)

\(x = \frac{15}{5}\)

\(x = \dfrac{3}{5}\)

\(x = 0,6\)

\(y = -2\cdot0,6 + 9 = -1,2 + 9 = 7,8\)

Ответ: \((0,6;\,7,8)\).

д) \(y = 98x\) и \(y = -102x - 3\)

\(98x = -102x - 3\)

\(98x + 102x = -3\)

\(200x = -3\)

\(x = -\dfrac{3}{200}\)

\(x = -0,015\)

\(y = 98\cdot(-0,015) = -1,47\)

Ответ: \((-0,015;\,-1,47)\).

е) \(y = -3\) и \(y = 36x + 1\)

\(-3 = 36x + 1\)

\(36x = -3-1\)

\(36x = -4\)

\(x = -\frac{4}{36}\)

\(x = -\dfrac{1}{9}\)

\(y = -3\)

Ответ: \(\left(-\dfrac{1}{9};\,-3\right)\).

Пояснения:

Используемое правило:

Точка пересечения графиков функций находится из равенства их значений \(y\). Для этого приравнивают правые части уравнений и решают полученное линейное уравнение.

Алгоритм решения:

1. Приравнять выражения для \(y\).

2. Найти значение \(x\).

3. Подставить найденное \(x\) в любое из уравнений и найти \(y\).

4. Записать координаты точки пересечения.

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 100,\\ y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10. \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 100\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 10\).

\(y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

Ответ: \((0; -10)\), \((6; 8)\), \((-6; 8)\).

Пояснения:

Уравнение \(x^2 + y^2 = 100\) задаёт окружность радиуса \(10\) с центром в начале координат.

Уравнение \(y = \dfrac{1}{2}x^2 - 10\) задаёт параболу, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке \((0;-10)\). Строим параболу по точкам, составив таблицу.

При графическом построении видно, что парабола касается окружности в точке \((0;-10)\) и пересекает её ещё в двух симметричных точках \((6;8)\) и \((-6;8)\).