Упражнение 417 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(B(2;\,-1)\) принадлежит \(y=f(x)\)

\(f(x)=kx+1\)

\(-1 = k\cdot 2 + 1\)

\(-1 = 2k + 1\)

\(-2k = 1 + 1\)

\(-2k = 2\)

\(k = -1\)

Ответ: \(k = -1\).

б) \(B(2;\,-1)\) принадлежит \(y=f(x)\)

\(f(x)=2x+k\)

\(-1 = 2\cdot 2 + k\)

\(-1 = 4 + k\)

\(k=-1-4\)

\(k = -5\)

Ответ: \(k = -5\).

Пояснения:

Используемое правило:

Если точка \((x_0;\,y_0)\) принадлежит графику функции \(y=f(x)\), то её координаты удовлетворяют равенству

\[ y_0 = f(x_0). \]

Пояснение к пункту а).

В функции \(f(x)=kx+1\) неизвестным является коэффициент \(k\). Подстановка координат точки приводит к линейному уравнению относительно \(k\), из которого находится его значение.

Пояснение к пункту б).

Аналогично, в функции \(f(x)=2x+k\) неизвестным является свободный член \(k\). Подстановка координат точки даёт простое уравнение, из которого определяется \(k\).

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25,\\ y = x^2 - 6 \end{cases}\)

1) \( x^2 + y^2 = 25\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 5\).

2) \(y = x^2 - 6\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

Ответ: \((-1,1; -4,9)\), \((1,1; -4,9)\),

\((-3,2; 3,9)\), \((3,2; 3,9)\).

Пояснения:

Решения системы - это точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.

График уравнения \(x^2 + y^2 = 25\) — окружность радиуса \(5\) с центром в начале координат.

График уравнения \(y = x^2 - 6\) — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке \((0,-6)\). Строим параболу по точкам, составив таблицу.

При построении видно, что парабола пересекает окружность в четырёх точках: две точки с положительными значениями \(x\) и две симметричные им точки с отрицательными значениями \(x\).

Графический метод позволяет приближенно найти решения системы.