Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№414 учебника 2023-2026 (стр. 126):
Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными
\(3x - 2y = 1\).
Подберите второе уравнение так, чтобы система:
а) имела единственное решение;
б) не имела решений;
в) имела бесчисленное множество решений.
№414 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Решите систему уравнений способом сложения:
а) \(\begin{cases} 5x + 2y = 30, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} 2x - y = 85, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases}\)
№414 учебника 2023-2026 (стр. 126):
Вспомните:
№414 учебника 2014-2022 (стр. 113):
Вспомните:
№414 учебника 2023-2026 (стр. 126):
\(3x - 2y = 1\)
а) Имеет единственное решение система
\(\begin{cases} 3x - 2y = 1,\\ 2x + 3y = 5, \end{cases}\)
так как \(\frac32 \ne -\frac23\).
б) Не имеет решений система
\(\begin{cases} 3x - 2y = 1,\\ 6x - 4y = 3 \end{cases}\)
так как \(\frac36 = \frac12\), \(\frac{-2}{-4} = \frac12\), \(\frac13\),
и \(\frac36 = \frac{-2}{-4} \ne \frac13\).
в) Имеет бесчисленное множество решений система
\(\begin{cases} 3x - 2y = 1,\\ 6x - 4y = 2 \end{cases}\)
так как \(\frac36 = \frac12\), \(\frac{-2}{-4} = \frac12\), \(\frac13\),
и \(\frac36 = \frac{-2}{-4} = \frac12\).
Пояснения:
Правила, которые используются:
Рассматриваем систему вида
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]
1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).
2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и
\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).
3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и
\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).
№414 учебника 2014-2022 (стр. 113):
а) \(\begin{cases} 5x + 2y = 30, /\times(-2) \\ 3x + 4y = -3; \end{cases}\)
\(\begin{cases} -10x - 4y = -60, \\ 3x + 4y = -3; \end{cases}\) \((+)\)
1) \((-10x + 3x) + (-4y + 4y) = -60 + (-3)\)
\(-7x = -63\)
\(x = \frac{-63}{-7}\)
\(x = 9\)
2) \(5\cdot 9 + 2y = 30\)
\(45 + 2y = 30\)
\(2y = 30 - 45\)
\(2y = -15\)
\(y = -\dfrac{15}{2}\)
\(y = -7,5\)
Ответ: \( (9;\,-7,5)\)
б) \(\begin{cases} 2x - y = 85, /\times(-2) \\ 5x - 2y = 200. \end{cases}\)
\(\begin{cases} -4x + 2y = -170, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases}\) \((+)\)
1) \((-4x + 5x) + (2y + (-2y)) = -170 + 200\)
\(x = 30\)
2) \(2\cdot 30 - y = 85\)
\(60 - y = 85\)
\(-y =85 - 60\)
\(-y = 25\)
\(y = -25\)
Ответ: \((30,\,-25)\)
Пояснения:
Метод сложения:
1. Подбираем множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
2. Складываем уравнения, исключая одну переменную.
3. Решаем оставшееся линейное уравнение.
4. Подставляем найденное значение в одно из исходных уравнений, находим вторую переменную.
Вернуться к содержанию учебника