Упражнение 419 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№419 учебника 2023-2026 (стр. 126):
В трёх кусках 75 м ткани. В первом куске в 1,5 раза больше ткани, чем во втором и третьем вместе. Сколько ткани в каждом куске, если во втором на 10 м больше, чем в третьем?
№419 учебника 2014-2022 (стр. 116):
(Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0. \end{cases}\)
1) Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики и определены координаты точек пересечения графиков.
Подсказка
№419 учебника 2023-2026 (стр. 126):
Вспомните:
- Решение задач с помощью уравнений.
- Линейное уравнение с одной переменной.
- Распределительное свойство умножения.
- Подобные слагаемые.
- Деление и дроби.
- Умножение десятичных дробей.
№419 учебника 2014-2022 (стр. 116):
Вспомните:
- Что называют решением системы уравнений с двумя переменными, графический способ решения систем уравнений с двумя переменными.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Уравнения с двумя переменными, их свойства.
- Уравнение окружности, ее график.
- Квадратичная функция, ее график.
- Функция обратной пропорциональности, ее график.
- Линейная функция, ее график.
- Степень с натуральным показателем.
- Деление и дроби.
- Деление рациональных чисел.
- Умножение обыкновенных дробей.
- Вычитание рациональных чисел.
Ответ
№419 учебника 2023-2026 (стр. 126):
Пусть в третьем куске \(x\) м ткани. Тогда во втором куске \(x+10\) м. Значит, во втором и третьем кусках вместе
\(x + (x+10) = 2x + 10\) м ткани.
В первом куске ткани в 1,5 раза больше:
\(1{,}5(2x + 10)\)
Известно, что в трёх кусках 75 м ткани.
Составим уравнение:
\(1{,}5(2x + 10) + (2x + 10) = 75\)
\(3x + 15 + 2x + 10 = 75\)
\(5x + 25 = 75\)
\(5x = 75 - 25\)
\(5x = 50\)
\(x = \frac{50}{5}\)
\(x = 10\)
1) \(10\) (м) - ткани в третьем куске.
2) \(10 + 10 = 20\) (м) - ткани во втором куске.
3) \(1{,}5\cdot(20 + 10) = 45\) (м) - ткани в первом куске.
Ответ: \(45\) м, \(20\) м и 10 м.
Пояснения:
Используемые приёмы и правила:
1. В текстовых задачах удобно вводить переменную для наименьшей величины.
2. Если одна величина больше другой на несколько единиц, это выражается сложением.
3. Если величина больше другой в несколько раз, используется умножение.
4. Сумма всех частей равна общему количеству.
Подробное объяснение:
За переменную \(x\) выбрано количество ткани в третьем куске, так как оно меньше второго. Второй кусок больше третьего на 10 м, поэтому его длина выражена как \(x+10\).
По условию в первом куске ткани в 1,5 раза больше, чем во втором и третьем вместе, поэтому его длина выражена как \(1{,}5(2x+10)\).
Сложив длины всех трёх кусков и приравняв сумму к 75 м, получили линейное уравнение, из которого нашли значение \(x\). После этого вычислили длину каждого куска и получили ответ, удовлетворяющий всем условиям задачи.
№419 учебника 2014-2022 (стр. 116):
а) \(\begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = \frac6x, \\ 3y = 2x - 6 / : 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = \frac6x, \\ y = \frac23x - 2 \end{cases}\)
\(y = \frac6x\) - гипербола, ветви в I и III четвертях.
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
| \(y\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
| \(x\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) |
| \(y\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) |
\(y = \frac23x - 2\) - прямая.
| \(x\) | \(3\) | \(-3\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-4\) |
Ответ: \((-1,9; -3,2)\), \((4,8; 1,2)\).
б) \(\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y = x^2 \end{cases}\)
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4\) - окружность с центром в точке \((3; 4)\) и радиусом \(r = 2\).
\(y = x^2 \) - парабола, ветви которой направлены вверх.
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
Ответ: \((1{,}6;\,2{,}6)\) и \((2{,}4;\,5{,}9)\).
Пояснения:
Решения системы - это точки пересечения графиков уравнений, входящих в систему.
Пункт а):
Уравнение \(xy=6\) задаёт гиперболу (произведение координат постоянно).
Уравнение \(2x-3y=6\) задаёт прямую.
Графически решения — это точки пересечения прямой и гиперболы; обычно таких точек может быть 0, 1 или 2. Здесь получилось 2 точки.
Пункт б):
Уравнение \((x-3)^2+(y-4)^2=4\) — окружность с центром \((3;4)\) и радиусом \(2\).
Уравнение \(y=x^2\) — парабола с вершиной \((0;0)\), ветви направлены вверх.
Графически решения — точки пересечения окружности и параболы. По рисунку видно две общие точки (парабола проходит через «область» окружности и пересекает её в двух местах).
Вернуться к содержанию учебника