Упражнение 415 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} kx + 4y = 6,\\ 5x + 8y = 3. \end{cases}\)

1) Система имеет единственное решение при \(k = 1\), так как \(\frac15 \ne \frac48\).

2) Система не имеет решений, если \(\frac k5 = \frac48 \ne \frac63\)

\(\frac k5 = \frac48, \Rightarrow 8k = 20, \Rightarrow\)

\(k = \frac{20}{8} = \frac52 = 2,5\).

3) Не существует такого \(k\), при котором система имеет бесконечное множество решений, так как \(\frac48 \ne \frac63\).

Пояснения:

Правила, которые используются:

Рассматриваем систему вида

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]

1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).

3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).

\[ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=5,\\ 6x+5y=-4 \end{cases} \]

а) \((-2;\;1)\)

\[ \begin{cases} (-2)^{2}+1^{2}=5,\\ 6\cdot(-2)+5\cdot1=-4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 5=5 - верно,\\ -7=-4 - неверно.\end{cases} \]

Ответ: не является решением системы.

б) \((1;\;-2)\)

\[ \begin{cases} 1^{2}+(-2)^{2}=5,\\ 6\cdot1+5\cdot(-2)=-4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 5=5 - верно,\\ -4=-4 - верно\end{cases} \]

Ответ: является решением системы.

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство.