Упражнение 416 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} 4x - 5y = 8,\\ kx + 15y = m \end{cases}\)

а) Система не имеет решений при \(k = -12\) и \(m = 2\), так как

\(\frac{4}{-12} = \frac{-5}{15} \ne \frac82\).

б) Система имеет бесчисленное множество решений при \(k = -12\) и \(m = -24\), так как

\(\frac{4}{-12} = \frac{-5}{15} = \frac{8}{-24} = -\frac13\).

в) Система имеет единственное решение при любом \(m\) и при \(k \ne -12\) система имеет единственное решение, например при \(k = 6\) и \(m = 4\), так как

\(\frac{4}{6} \ne \frac{-5}{15} \).

Пояснения:

Правила, которые используются:

Рассматриваем систему вида

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]

1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).

3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).

\( \begin{cases} y-x^{2}=0,\\ 2x-y+3=0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=x^{2},\\ y=2x+3. \end{cases} \)

\(y=x^{2}\) - парабола.

\(y=2x+3\) - прямая.

Ответ: \(\;(-1,\,1)\) и \((3,\,9)\).

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

\(y = x^2\) - квадратичная функция, графиком которой является парабола. Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).

\(y=kx+b\) - линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.