Упражнение 342 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 107

\((a+2)x^2 + 8x + a - 4 = 0\)

1) \(a + 2 \ne 0\)

    \(a \ne -2\)

2) \( D = 8^2 - 4(a+2)(a - 4)= \)

\(= 64 - 4(a^2 - 4a + 2a - 8) =\)

\( =64 - 4(a^2 - 2a - 8) =\)

\(= 64 - 4a^2 + 8a + 32 = \)

\(=-4a^2 + 8a + 96\).

Уравнение имеет 2 корня, если:

\(D > 0\)

\(-4a^2 + 8a + 96 > 0\)

\(y = -4a^2 + 8a + 96\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-4a^2 + 8a + 96 = 0\)   \(/ : (-4)\)

\(a^2 - 2a - 24 = 0\)

\( D = 2^2 - 4 \cdot1 \cdot (-24) = \)

\(=4 + 96 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {100} = 10\).

\(a_1 = \frac{2 + 10}{2\cdot 1} = \frac{8}{2} = 6\).

\(a_2 = \frac{2 - 10}{2\cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4\).

Ответ: \(x \in (-4; -2) \cup (-2; 6)\).

Пояснения:

Квадратное уравнение имеет два корня, если коэффициент при \(x^2\) не равен нулю, так ка в противном случае уравнение не будет квадратным, и дискриминант строго положителен.

Дискриминант получился квадратным трёхчленом по \(a\), и задача свелась к решению квадратного неравенства.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Значение \(a\), при  котором коэффициент при \(x^2\) равен нулю, исключаем из полученного промежутка.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.