Упражнение 340 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 107

а) \(2(x+1)(x-3) > (x+5)(x-7)\)

\(2(x^2 - 3x + x - 3) > x^2 - 7x + 5x -35\)

\(2(x^2 - 2x - 3) > x^2 - 2x -35\)

\(2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x -35\)

\(2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 2x + 35 > 0\)

\( x^2 - 2x + 29 > 0\)

\(y = x^2 - 2x + 29\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\( x^2 - 2x + 29 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot29 = \)

\( = 4 - 116 = -112 < 0\) - корней нет.

\(x\) - любое число.

Что и требовалось доказать.

б) \(\dfrac{1}{4}(x+5)(x-7) \le (x+2)(x-4).\)

\(\dfrac{1}{4}(x^2 - 7x + 5x - 35) \le x^2 - 4x + 2x - 8\)

\(\dfrac{1}{4}(x^2 - 2x - 35) \le x^2 - 2x - 8\)  \(/\times4\)

\(x^2 - 2x - 35 \le 4x^2 - 8x - 32\) 

\(x^2 - 2x - 35 - 4x^2 + 8x + 32 \le 0\) 

\(-3x^2 + 6x - 3 \le 0\)

\(y = -3x^2 + 6x - 3\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-3x^2 + 6x - 3 = 0\)   \(/ : (-3)\)

\(x^2 - 2x + 1 = 0\)

\((x - 1)^2 = 0\)

\(x - 1 = 0\)

\(x = 1\)

\(x\) - любое число.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чтобы доказать, что неравенства верны при всех значениях переменной, преобразуем их к виду:

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\).

Которые решаем по следующему алгоритму:

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В пункте б) при решении уравнения применили формулу квадрата разности двух выражений:

\((a- b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).