Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму корней биквадратного уравнения:
а) \(x^4 - 9x^2 + 18 = 0\);
б) \(x^4 + 3x^2 - 10 = 0\);
в) \(4x^4 - 12x^2 + 1 = 0\);
г) \(12y^4 - y^2 - 1 = 0\).
Вспомните:
а) \(x^4 - 9x^2 + 18 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда
\(t^2 - 9t + 18 = 0\)
\(D = (-9)^2 - 4\cdot 1\cdot18 = \)
\(= 81 - 72 = 9 > 0 \) - 2 корня.
\(\sqrt 9 = 3\).
\(t_1 = \frac{9 + 3}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).
\(t_2 = \frac{9 - 3}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).
1) Если \(t = 6\), то
\(x^2 = 6\)
\(x = \pm\sqrt6\)
2) Если \(t = 3\), то
\(x^2 = 3\)
\(x = \pm\sqrt3\)
3) \( -\sqrt{3} + \sqrt{3} + (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} = 0\).
Ответ: \(0\).
б) \(x^4 + 3x^2 - 10 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда
\(t^2 + 3t - 10 = 0\)
\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-10) =\)
\(=9 + 40 = 49 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {49} = 7\).
\(t_1 = \frac{-3 + 7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).
\(t_2 = \frac{-3 - 7}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\) - не удовлетворяет условию.
Если \(t = 2\), то
\(x^2 = 2\)
\(x = \pm \sqrt 2\)
\(- \sqrt 2 + \sqrt 2 = 0\)
Ответ: \(0\).
в) \(4x^4 - 12x^2 + 1 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда
\(4t^2 - 12t + 1 = 0\)
\(D = (-12)^2 - 4\cdot4\cdot1 = \)
\(=144 - 16 = 128 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {128} =\sqrt{64\cdot2} = 8\sqrt2\).
\(t_{1,2} = \frac{12 \pm 8\sqrt2}{2\cdot4} = \frac{12 \pm 8\sqrt2}{8}= \)
\(=\frac{\cancel4(3 \pm 2\sqrt2)}{\cancel8_2}= \frac{3 \pm 2\sqrt2}{2} \).
1) Если \(t=\frac{3 + 2\sqrt2}{2}\), то
\(x^2=\frac{3 + 2\sqrt2}{2}\)
\(x = \pm\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt2}{2}}\).
2) Если \(t=\frac{3 - 2\sqrt2}{2}\), то
\(x^2=\frac{3 - 2\sqrt2}{2}\)
\(x = \pm\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt2}{2}}\)
\(- \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt2}{2}} +\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt2}{2}} +\left( -\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt2}{2}}\right) + \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt2}{2}} = 0\)
Ответ: \(0\).
г) \(12y^4 - y^2 - 1 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда
\(12t^2 - t - 1 = 0\)
\(D = (-1)^2 - 4\cdot12\cdot(-1) =\)
\(= 1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{49} = 7\).
\(t_1 = \dfrac{1 + 7}{2\cdot12} = \frac{8}{24}= \dfrac{1}{3}\)
\(t_2 = \dfrac{1 - 7}{24} = \frac{-6}{24}= -\dfrac{1}{4}\) - не удовлетворяет условию.
Если \(t = \frac13\), то
\(x^2 = \frac13\)
\(x = \pm \sqrt{\frac13}\)
\(-\sqrt{\frac13} + \sqrt{\frac13} = 0\)
Ответ: \(0\).
Пояснения:
1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену
\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)
Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:
\[ a t^{2} + bt + c = 0, \]
которое решаем через дискриминант:
\(D =b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.
2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным, получая \(x = \pm \sqrt t\).
Вернуться к содержанию учебника