Упражнение 326 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^4 - 20x^2 + 64\)

Пусть \(x^2 = t\).

\(t^2 - 20t + 64 = 0\)

\(D = 20^2 - 4\cdot1\cdot64 =\)

\(=400 - 256 = 144 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {144} = 12\).

\(t_{1} = \dfrac{20 + 12}{2\cdot1} = \frac{32}{2}= 16.\)

\(t_{2} = \dfrac{20 - 12}{2\cdot1} = \frac{8}{2}= 4.\)

\(t^2 - 20t + 64 = (t - 16)(t - 4)\)

\(t = x^2\), тогда

\(x^4 - 20x^2 + 64 = (x^2 - 16)(x^2 - 4)=\)

\(=(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 2)\).

б) \(x^4 - 17x^2 + 16\)

Пусть \(x^2 = t\).

\(t^2 - 17t + 16 = 0\)

\(D = 17^2 - 4\cdot1\cdot16 =\)

\(=289 - 64 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {225} = 15\).

\(t_{1} = \dfrac{17 + 15}{2\cdot1} = \frac{32}{2}= 16.\)

\(t_{2} = \dfrac{17 - 15}{2\cdot1} = \frac{2}{2}= 1.\)

\(t^2 - 17t + 16 = (t - 16)(t - 1)\)

\(t = x^2\), тогда

\(x^4 - 17x^2 + 16 = (x^2 - 16)(x^2 - 1)=\)

\(= (x - 4)(x + 4)(x - 1)(x + 1)\).

в) \(x^4 - 5x^2 - 36\)

Пусть \(x^2 = t\).

\(t^2 - 5t - 36 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-36) =\)

\(=25 + 144 = 169 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {169} = 13\).

\(t_{1} = \dfrac{5 + 13}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9.\)

\(t_{2} = \dfrac{5 - 13}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4.\)

\(t^2 - 5t - 36 = (t - 9) (t + 4)\)

\(t = x^2\), тогда

\(x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4)=\)

\(= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)\).

г) \(x^4 - 3x^2 - 4\)

Пусть \( x^2 = t\).

\(t^2 - 3t - 4 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) = \)

\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {25} = 5\).

\(t_{1} = \dfrac{3 + 5}{2\cdot1} =\frac{8}{2}= 4.\)

\(t_{2} = \dfrac{3 - 5}{2\cdot1} =\frac{-2}{2}= -1.\)

\(t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)\)

\( t = x^2 \), тогда

\(x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)=\)

\(= (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)\).

д) \(9x^4 - 10x^2 + 1\)

Пусть \(x^2 = t\)

\(9t^2 - 10t + 1 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot9\cdot1 =\)

\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(t_{1} = \dfrac{10 + 8}{2\cdot9} = \frac{18}{18} = 1\).

\(t_{2} = \dfrac{10 - 8}{2\cdot9} = \frac{2}{18} = \frac19\).

\(9t^2 - 10t + 1 = 9(t - \frac19)(t-1)=\)

\(=(9t - 1)(t - 1)\).

\(t = x^2\), тогда

\(9x^4 - 10x^2 + 1 = (9x^2 - 1)(x^2 - 1)=\)

\(= (3x - 1)(3x + 1)(x - 1)(x + 1)\).

е) \(4x^4 - 17x^2 + 4\)

Пусть \(x^2 = t\).

\(4t^2 - 17t + 4 = 0\)

\(D = (-17)^2 - 4\cdot4\cdot4 =\)

\(=289 - 64 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {225} = 15\).

\(t_{1} = \dfrac{17 + 15}{2\cdot4} = \frac{32}{8}= 4.\)

\(t_{2} = \dfrac{17 - 15}{2\cdot4} = \frac{2}{8}= \frac14.\)

\(4t^2 - 17t + 4 =4(t - \frac14)(t-4)=\)

\(=(4t - 1)(t - 4)\).

\(t = x^2\), тогда

\(4x^4 - 17x^2 + 4 = (4x^2 - 1)(x^2 - 4)=\)

\(= (2x - 1)(2x + 1)(x - 2)(x + 2)\).

Пояснения:

В обоих трёхчленах степени переменной только четные (\(x^{4}, x^{2}\)), поэтому это биквадратные трёхчлены. Их удобно свести к обычным квадратным подстановкой:

\[x^{2} = t.\]

Тогда, исходный многочлен превращается в квадратный трёхчлен по \(t\).

Если трехчлен вида \[at^{2} + bt + c\] имеет корни \(t_1\) и \(t_2\), то его можно разложить на множители по формуле:

\(a(t - t_{1})(t - t_{2})\),

где \(t_{1}, t_{2}\) — корни квадратного уравнения:

Корни квадратного трехчлена

\[t^{2} + bt + c\]

находим по формуле с дискриминанта:

\(D = b^{2} - 4c,\)

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2}.\)

После нахождения разложения по \(t\) выполняем обратную замену \(t = x^{2}\). Если получаются выражения вида \(x^{2} - a^{2}\), используем формулу разности квадратов:

\[x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a).\]

а) \((x + 25)(x - 30) < 0\)

\((x + 25)(x - 30) = 0\)

\(x + 25 = 0\)  или  \(x - 30 = 0\)

\(x = -25\)              \( x = 30\)

Ответ: \(x \in (-25; 30) \).

б) \((x + 6)(x - 6) > 0\)

\((x + 6)(x - 6) = 0\)

\(x + 6=0\)   или   \(x - 6= 0\)

\(x = -6\)                \(x = 6\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)\).

в) \(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x - \dfrac{1}{5}\right) \le 0\)

\(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x - \dfrac{1}{5}\right) = 0\)

\(x - \dfrac{1}{3}=0\)  или  \(x - \dfrac{1}{5}=0\)

\(x = \dfrac{1}{3}\)                 \( x = \dfrac{1}{5}\)

Ответ: \(x \in \left[\dfrac{1}{5}; \dfrac{1}{3}\right] \).

г) \((x + 0{,}1)(x + 6{,}3) \ge 0\)

\((x + 0{,}1)(x + 6{,}3) \ge 0\)

\(x + 0{,}1 = 0\)   или   \(x + 6{,}3= 0\)

\(x = -0{,}1\)                \( x = -6{,}3\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -6,3] \cup [-0,1; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.