Вернуться к содержанию учебника
Разложите на множители трёхчлен:
а) \(x^4 - 20x^2 + 64\);
б) \(x^4 - 17x^2 + 16\);
в) \(x^4 - 5x^2 - 36\);
г) \(x^4 - 3x^2 - 4\);
д) \(9x^4 - 10x^2 + 1\);
е) \(4x^4 - 17x^2 + 4\).
Вспомните:
а) \(x^4 - 20x^2 + 64\)
Пусть \(x^2 = t\).
\(t^2 - 20t + 64 = 0\)
\(D = 20^2 - 4\cdot1\cdot64 =\)
\(=400 - 256 = 144 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {144} = 12\).
\(t_{1} = \dfrac{20 + 12}{2\cdot1} = \frac{32}{2}= 16.\)
\(t_{2} = \dfrac{20 - 12}{2\cdot1} = \frac{8}{2}= 4.\)
\(t^2 - 20t + 64 = (t - 16)(t - 4)\)
\(t = x^2\), тогда
\(x^4 - 20x^2 + 64 = (x^2 - 16)(x^2 - 4)=\)
\(=(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 2)\).
б) \(x^4 - 17x^2 + 16\)
Пусть \(x^2 = t\).
\(t^2 - 17t + 16 = 0\)
\(D = 17^2 - 4\cdot1\cdot16 =\)
\(=289 - 64 = 225 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {225} = 15\).
\(t_{1} = \dfrac{17 + 15}{2\cdot1} = \frac{32}{2}= 16.\)
\(t_{2} = \dfrac{17 - 15}{2\cdot1} = \frac{2}{2}= 1.\)
\(t^2 - 17t + 16 = (t - 16)(t - 1)\)
\(t = x^2\), тогда
\(x^4 - 17x^2 + 16 = (x^2 - 16)(x^2 - 1)=\)
\(= (x - 4)(x + 4)(x - 1)(x + 1)\).
в) \(x^4 - 5x^2 - 36\)
Пусть \(x^2 = t\).
\(t^2 - 5t - 36 = 0\)
\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-36) =\)
\(=25 + 144 = 169 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {169} = 13\).
\(t_{1} = \dfrac{5 + 13}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9.\)
\(t_{2} = \dfrac{5 - 13}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4.\)
\(t^2 - 5t - 36 = (t - 9) (t + 4)\)
\(t = x^2\), тогда
\(x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4)=\)
\(= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)\).
г) \(x^4 - 3x^2 - 4\)
Пусть \( x^2 = t\).
\(t^2 - 3t - 4 = 0\)
\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) = \)
\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {25} = 5\).
\(t_{1} = \dfrac{3 + 5}{2\cdot1} =\frac{8}{2}= 4.\)
\(t_{2} = \dfrac{3 - 5}{2\cdot1} =\frac{-2}{2}= -1.\)
\(t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)\)
\( t = x^2 \), тогда
\(x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)=\)
\(= (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)\).
д) \(9x^4 - 10x^2 + 1\)
Пусть \(x^2 = t\)
\(9t^2 - 10t + 1 = 0\)
\(D = (-10)^2 - 4\cdot9\cdot1 =\)
\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {64} = 8\).
\(t_{1} = \dfrac{10 + 8}{2\cdot9} = \frac{18}{18} = 1\).
\(t_{2} = \dfrac{10 - 8}{2\cdot9} = \frac{2}{18} = \frac19\).
\(9t^2 - 10t + 1 = 9(t - \frac19)(t-1)=\)
\(=(9t - 1)(t - 1)\).
\(t = x^2\), тогда
\(9x^4 - 10x^2 + 1 = (9x^2 - 1)(x^2 - 1)=\)
\(= (3x - 1)(3x + 1)(x - 1)(x + 1)\).
е) \(4x^4 - 17x^2 + 4\)
Пусть \(x^2 = t\).
\(4t^2 - 17t + 4 = 0\)
\(D = (-17)^2 - 4\cdot4\cdot4 =\)
\(=289 - 64 = 225 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {225} = 15\).
\(t_{1} = \dfrac{17 + 15}{2\cdot4} = \frac{32}{8}= 4.\)
\(t_{2} = \dfrac{17 - 15}{2\cdot4} = \frac{2}{8}= \frac14.\)
\(4t^2 - 17t + 4 =4(t - \frac14)(t-4)=\)
\(=(4t - 1)(t - 4)\).
\(t = x^2\), тогда
\(4x^4 - 17x^2 + 4 = (4x^2 - 1)(x^2 - 4)=\)
\(= (2x - 1)(2x + 1)(x - 2)(x + 2)\).
Пояснения:
В обоих трёхчленах степени переменной только четные (\(x^{4}, x^{2}\)), поэтому это биквадратные трёхчлены. Их удобно свести к обычным квадратным подстановкой:
\[x^{2} = t.\]
Тогда, исходный многочлен превращается в квадратный трёхчлен по \(t\).
Если трехчлен вида \[at^{2} + bt + c\] имеет корни \(t_1\) и \(t_2\), то его можно разложить на множители по формуле:
\(a(t - t_{1})(t - t_{2})\),
где \(t_{1}, t_{2}\) — корни квадратного уравнения:
Корни квадратного трехчлена
\[t^{2} + bt + c\]
находим по формуле с дискриминанта:
\(D = b^{2} - 4c,\)
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2}.\)
После нахождения разложения по \(t\) выполняем обратную замену \(t = x^{2}\). Если получаются выражения вида \(x^{2} - a^{2}\), используем формулу разности квадратов:
\[x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a).\]
Вернуться к содержанию учебника