Вернуться к содержанию учебника
Является ли число:
а) \(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\) корнем биквадратного уравнения \(x^4 - 6x^2 + 3 = 0\);
б) \(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\) корнем биквадратного уравнения \(x^4 - 10x^2 + 23 = 0\)?
Вспомните:
а) \(x^4 - 6x^2 + 3 = 0\)
\(x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}\)
\(\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^4 - 6\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 + 3 = 0\)
\(\left(\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2\right)^2 - 6\left(3 + \sqrt{5}\right) + 3 = 0\)
\(\left(3 + \sqrt{5}\right)^2 - 6\left(3 + \sqrt{5}\right) + 3 = 0\)
\(3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt5 +(\sqrt5)^2 - 18 - 6\sqrt5 + 3 = 0\)
\(9 + \cancel{6\sqrt5} + 5 -18 - \cancel{6\sqrt5} + 3 = 0\)
\(-1 = 0\) - неверно.
Ответ: число \(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\) не является корнем уравнения.
б) \(x^4 - 10x^2 + 23 = 0\)
\(x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}\)
\(\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^4 - 10\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^2 + 23 = 0\)
\(\left(\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^2\right)^2 - 10\left(5 - \sqrt{2}\right) + 23 = 0\)
\(\left(5 - \sqrt{2}\right)^2 - 10\left(5 - \sqrt{2}\right) + 23 = 0\)
\(5^2 - 2\cdot5\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2 - 50 + 10\sqrt2 + 23 =0\)
\(25-\cancel{10\sqrt2} + 2 - 50 + \cancel{10\sqrt2} + 23 = 0\)
\(0=0\) - верно.
Ответ: число \(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\) является корнем уравнения.
Пояснения:
Биквадратное уравнение имеет вид \[ x^4 + bx^2 + c = 0. \] В нём переменная встречается только в чётных степенях. Чтобы проверить, является ли данное число корнем, можно подставить его в уравнение и, если после вычислений получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.
Правила, используемые при вычислениях:
1. Свойство степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\).
2. Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
3. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Вернуться к содержанию учебника