Упражнение 232 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x > 0\)

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 11} = \frac{1}{30}\) \(/\times 30x(x+11)\)

\(30(x + 11) +30x = x(x+11)\)

\(30x + 330 + 30 x = x^2 + 11x \)

\(60x + 330 = x^2 + 11x \)

\(x^2 + 11x - 60 x - 330 = 0\)

\(x^2 - 49x - 330 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -49\),  \(c = -330\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-49)^{2} - 4\cdot 1\cdot (-330) = \)

\(=2401 + 1320 = 3721 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 61.\)

\( x_{1} = \frac{49 + 61}{2\cdot1}=\frac{110}{2} = 55. \)

\( x_{2} = \frac{49 - 61}{2\cdot1}=\frac{-12}{2} = -6\) - не удовлетворяет условию.

1) \(55\) (ч) - время, за которое выполнит задание 2 сварщик.

2) \( 55 + 11 = 66\) (ч) - время, за которое выполнит задание 1 сварщик.

Ответ: 66 ч и 55 ч.

Пояснения:

1. Основные формулы:

Производительность = \(\dfrac{1}{\text{время}}\).

Совместная производительность = сумма производительностей.

2. В задаче:

— пусть второй работает \(x\) часов, тогда первый \(x + 11\); — работая вместе, они выполняют работу за 30 часов, значит их производительности суммируются и можем составить дробное рациональное уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 11} = \frac{1}{30}. \]

3. Алгоритм решения уравнения:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

\(y=ax^{2}\) и \(y=ax\), где \(a\ne 0\)

\( ax^{2}=ax \)   \(/ : a\)

\( x^{2}=x \)

\( x^{2}-x=0 \)

\( x(x-1)=0 \)

\( x=0\)   или   \( x-1=0 \)

                      \(x = 1\)

1) При \(x=1\):

\(y=a\cdot 1=a. \)

Точка пересечения \((1;\,a)\). Что и требовалось доказать.

2) При \(x=0\):

\( y=a\cdot 0=0 \)

Точка пересечения: \((0;\,0)\).

Ответ: графики пересекаются в точках \((1;\,a) \) и \((0;\,0). \)

Пояснения:

1. Идея решения.

Точки пересечения двух графиков находятся из уравнения равенства их значений: \[ ax^{2}=ax. \] Так как \(a\ne 0\), можно сократить на \(a\), получив квадратное уравнение.

2. Почему всегда есть две точки пересечения?

— \(y=ax\) — прямая через начало координат. — \(y=ax^{2}\) — парабола с вершиной в начале координат. Обе функции при любом \(a\ne 0\) обязательно проходят через \((0;0)\). А второе пересечение — при \(x=1\).

3. Проверка:

Подставляем точку \((1;a)\) в обе функции:

\( y=ax^{2}=a\cdot 1^{2}=a, \)

\(y=ax=a\cdot 1=a. \)

Значения совпадают — точка общая.