Упражнение 712 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16, \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16, \\ 2x - 3(x^2 - 8x + 16) = 0 \end{cases} \)

\(2x - 3(x^2 - 8x + 16) = 0\)

\(2x - 3x^2+24x - 48 = 0\)

\(-3x^2 + 26x -48 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(3x^2 - 26x + 48 = 0\)

\(a = 3\),  \(b= -26\),  \(c = 48\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-26)^2-4\cdot3\cdot48=\)

\(=676-576=100 \),     \(\sqrt D = 10\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{-(-26) + 10}{2\cdot3} = \frac{36}{6} =6\).

\( x_2 = \frac{-(-26) - 10}{2\cdot3} = \frac{16}{6} =\frac83 =2\frac23 \)

\( y_1 = 6^2 - 8\cdot6 + 16 =\)

\(=36 - 48 + 16 = 4\).

\( y_2 = (2\frac23)^2 - 8\cdot2\frac23 + 16 = \)

\(=(\frac83)^2 - 8 \cdot \frac83 + 16 = \)

\(=\frac{64}{9}-\frac{64}{3} ^{\color{blue}{\backslash3}} + 16 = \)

\(=\frac{64}{9}-\frac{192}{9}+16 =\)

\(=-\frac{128}{9} + 16 =-14\frac29 + 16 = \)

\(=15\frac99 - 14\frac29 = 1\frac79\)

Ответ: точки пересечения параболы и прямой: \((6;4)\), \((2\frac{2}{3};1\frac{7}{9})\).

б) 1) С осью \(y\):

\(\begin{cases} x=0, \\ y = 2x^2 + 9x - 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=0, \\ y = 2\cdot0^2 + 9\cdot0 - 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=0, \\ y = - 5 \end{cases}\)

\((0; -5)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(x\):

\(\begin{cases} y=0, \\ y = 2x^2 + 9x - 5 \end{cases}\)

\(2x^2 + 9x - 5 =0\)

\(a = 2\),  \(b= 9\),  \(c = -5\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=9^2-4\cdot2\cdot(-5)=\)

\(=81 + 40 = 121 \),     \(\sqrt D = 11\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{-9 + 11}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}=0,5\).

\( x_2 = \frac{-9 - 11}{2\cdot2} = \frac{-20}{4} = -5\).

\((\frac{1}{2};0)\) и \((-5;0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: с осью \(y\): \((0; -5)\);

с осью \(x\): \((\frac{1}{2};0)\) b \((-5;0)\).

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении каждой системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований в каждом пункте получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

а) Для нахождения точек пересечения всегда составляем систему: первое уравнение описывает параболу, второе — прямую. Решение системы даёт координаты точек пересечения.

б) Для пересечения с осями координат также составляем систему: - с осью \(Oy\): добавляем уравнение \(x=0\); - с осью \(Ox\): добавляем уравнение \(y=0\). Таким образом, задача сводится к решению простых систем.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\(\frac{6x - 28}{x + 2} + \frac{6x - 28}{x - 2} = 9\) \(/\times(x+2)(x-2)\)

ОДЗ: \(x+2 \neq0\)   и   \(x - 2\neq 0\)

         \(x\neq-2\)            \(x\neq2\)

\((6x - 28)(x-2) + (6x-28)(x+2) = 9(x+2)(x - 2)\)

\(6x^2 -\cancel{12x} - 28x + \cancel{56} + 6x^2+\cancel{12x}-28x - \cancel{56}=9(x^2 - 4)\)

\(12x^2 - 56x = 9x^2 - 36\)

\(12x^2 - 56x - 9x^2 + 36 = 0\)

\(3x^2 - 56x + 36 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -56\),  \(c = 36\).

\(D = b^2 -4ac = (-56)^2 -4\cdot3\cdot36=\)

\(=3136-432 =2704\),   \(\sqrt D = 52\).

\(x_1 = \frac{-(-56)+ 52}{2\cdot3} = \frac{108}{6} = 18\).

\(x_2 = \frac{-(-56)- 52}{2\cdot3} = \frac{4}{6} = \frac23\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(18\) км/ч.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

- Формула пути: \[S = v \cdot t\]

- Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

Скорость катера в стоячей воде обозначили \(x\) км/ч. Тогда скорость по течению: \(x + 2\), скорость против течения: \(x - 2\).

По условию: расстояние \(MN\) катер проходит за 6 ч по течению:

\(MN = 6(x + 2)\).

По условию задачи катер не дошел до \(N\) \(40\) км, значит, катер прошёл вниз по течению:

\( 6(x + 2) - 40 =\)

\(=6x + 12 - 40 = 6x - 28\).

Затем вернулся против течения, то есть прошел такое же расстояние:

\( 6x - 28\).

По условию на весь путь катер затратил \(9\) ч. Получается, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{6x - 28}{x + 2} + \frac{6x - 28}{x - 2} = 9\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(18\) и \(\frac23\). Корень, равный \(\frac23\), не удовлетворяет условию задачи, так как в таком случае скорость катера в стоячей воде будет меньше скорости течения, чего не может быть.

Таким образом, катер в стоячей воде движется со скоростью 18 км/ч.