Упражнение 714 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y=2x^2-5x+1, \\ 2x+y+3=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x-3=2x^2-5x+1, \\ y=-2x-3 \end{cases} \)

\( -2x-3=2x^2-5x+1 \)

\(2x^2-5x+1 + 2x + 3 = 0\)

 \( 2x^2-3x+4=0 \)

\(a = 2\),  \(b= -3\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-3)^2-4\cdot2\cdot4=\)

\(=9-32=-23<0 \) - корней нет, значит, парабола \(y=2x^2-5x+1\) и прямая \(2x+y+3=0\) не пересекаются.

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac < 0\), которое не имеет корней, а это говорит о том, графики не пересекаются.

\(20 \;см = 0,2 \;м\)

Составим уравнение:

\(\frac{240}{x} - \frac{240}{x+0,2} = 100\)  \(/\times x(x+0,2)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 0,2\neq 0\)

                            \(x\neq-0,2\)

\(240(x+0,2) - 240x = 100x(x+0,2)\)

\(\cancel{240x} + 48 - \cancel{240x} = 100x^2 + 20x\)

\(48 = 100x^2 + 20x\)

\(100x^2 + 20x - 48 = 0\)   \(/ : 4\)

\(25x^2 + 5x - 12 = 0\)

\(a = 25\),  \(b=5\),  \(c = -12\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=5^2 - 4 \cdot25 \cdot (-12) =\)

\(= 25 + 1200 = 1225\),   \(\sqrt{D} = 35\)

\(x_1 = \frac{-5 + 35}{2\cdot25}=\frac{30}{50} = \frac35=0,6\).

\(x_2 = \frac{-5 - 35}{2\cdot25}=\frac{-40}{50} = -\frac45=-0,8\) - не удовлетворяет.

1) \(0,6\) м = 60 см - длина шага сына.

2) \(0,6 + 0,2 = 0,8\) (м) = \(80\) (см) - длина шага отца.

Ответ: шаг сына — 60 см, шаг отца — 80 см.

Пояснения:

Путь равен произведению количества шагов на длину шага, тогда длина одного шага это частное от деления длины пути на количество шагов.

Обозначили длину одного шага сына за \(x\) см, тогда длина шага отца \(x + 0,2\), так длина шага отца на \(20\; см = 0,2\; м\) длиннее. Учитывая то, что отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын, а шаг отца длиннее на 20 см, составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{240}{x} - \frac{240}{x+0,2} = 100\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(0,6\) и \(-0,8\). Корень, равный \(-0,8\), не удовлетворяет условию задачи, так как длина не может быть отрицательным числом. Значит, длина шага сына равна:

Таким образом, катер в стоячей воде движется со скоростью 18 км/ч.

\(0,6\) м = 60 см.

А длина шага отца:

\(0,6 + 0,2 = 0,8\) (м) = \(80\) (см).