Упражнение 716 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} y=x^3, \\ y = 15x \end{cases} \)

\( y=x^3\) - кубическая парабола, I и III четверть.

\(y = 15x\) - возрастающая прямая, проходит через точку \((0;0)\).

Ответ: система имеет 3 решения.

б) \( \begin{cases} xy=10, \\ y = x \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=\frac{10}{x}, \\ y = x \end{cases} \)

\(y=\frac{10}{x}\) - гипербола, I и III четверть.

\(y=x\) - возрастающая прямая, проходит через точку \((0;0)\).

Ответ: система имеет 2 решения.

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

а) График \(y=x^3\) — кубическая парабола, а \(y=15x\) — прямая через начало координат. Они пересекаются в трёх точках, что соответствует трём решениям.

б) График \(xy=10\) — гипербола, а \(y=x\) — прямая, которая является биссектрисой угла между осями. Они пересекаются в двух точках, что соответствует двум решениям.

Пусть по плану бригада должна была изготавливать \(x\) пылесосов в день, тогда  плановый срок работы: \(\frac{768}{x}\).

За первые 5 дней бригада изготовила: \(5x\) пылесосов, тогда за оставшиеся дни она изготовила \(844 - 5x\), изготавливая в день по \(x + 6\) пылесосов.

Составим уравнение:

\(\frac{768}{x} = 5 + \frac{844 - 5x}{x + 6} + 1\)

\(\frac{768}{x} = 6 + \frac{844 - 5x}{x + 6}\)  \(/\times x(x+6)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 6\neq 0\)

                            \(x\neq-6\)

\(768(x + 6) = 6x(x+6) + x(844 - 5x) \)

\(768x + 4608 = 6x^2 + 36x + 844x -5x^2\)

\(768x + 4608 = x^2 + 880x\)

\(x^2 + 880x -768x - 4608 = 0\)

\(x^2 + 112x - 4608=0\)

\(a = 1\),  \(k = \frac b2 = 56\),  \(c = -4608\)

\(D_1 = k^2 - ac =\)

\(=56^2 -1\cdot(-4608)=\)

\(=3136 + 4608 = 7744\),   \(\sqrt D = 88\).

\(x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt D}{a}\)

\(x_1 = \frac{-56 + 88}{1} = 32\)

\(x_2 = \frac{-56 - 88}{1} = -144\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: по плану бригада должна была изготавливать \(32\) пылесоса в день.

Пояснения:

Обозначили плановую дневную норму за \(x\). Определили плановый срок как \(\frac{768}{x}\) дней.

Составили дробное рациональное уравнение, учитывая то, что сначала 5 дней бригада работала по плану, затем каждый день изготавливала на 6 пылесосов больше: больше, при этом за день до срока было изготовлено 844 пылесоса:

\(\frac{768}{x} = 5 + \frac{844 - 5x}{x + 6} + 1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение с четным коэффициентом \(b\), у которого дискриминант \(D_1 = k^2 - 4ac>0\), где \(k = \frac b2\), поэтому уравнение имеет два корня: \(32\) и \(-144\). Корень, равный \-144\), не удовлетворяет условию задачи, так как количество не может быть отрицательным числом.

Значит, по плану бригада должна была изготавливать \(32\) пылесоса в день.