Упражнение 711 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x-y=5, \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=y+5, \\ \frac{1}{y+5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \end{cases}\)

\( \frac{1}{y+5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \)    \(/\times 6y(y+5)\)

ОДЗ: \(y\neq0\)   и   \(y + 5\neq 0\)

                            \(y \neq -5\)

\(6y + 6(y + 5) = y(y+5)\)

\(6y+6y+ 30 = y^2 + 5y\)

\(y^2 + 5y - 6y-6y-30=0\)

\(y^2 -7y - 30 =0\)

\(a = 1\),  \(b= -7\),  \(c = -30\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30)=\)

\(=49+120=169\),    \(\sqrt D = 13\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{(-(-7) + 13}{2\cdot1} = \frac{20}{2} =10\).

\( y_2 = \frac{(-(-7) - 13}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} =-3\).

\(x_1 = 10 + 5 = 15\).

\(x_2 = -3 + 5 = 2\).

Ответ: \((15;10), (2;-3)\).

б) \(\begin{cases} x+y=6, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4} \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=6-x, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{6-x}=\frac{1}{4} \end{cases}\)

\(\frac{1}{x}-\frac{1}{6-x}=\frac{1}{4}\)   \(/\times 4x(6-x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(6-x\neq 0\)

                            \(x \neq 6\)

\(4(6-x) - 4x = x(6-x)\)

\(24  - 4x - 4x = 6x - x^2\)

\(x^2 -8x - 6x + 24 = 0\)

\( x^2-14x+24=0 \)

\(a = 1\),  \(b= -14\),  \(c = 24\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-14)^2 - 4\cdot1\cdot24=\)

\(=196-96 = 100\),    \(\sqrt D = 10\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{(-(-14) + 10}{2\cdot1} = \frac{24}{2} =12\).

\( x_2 = \frac{(-(-14) - 10}{2\cdot1} = \frac{4}{2} =2\).

\(y_1 = 6 - 12 = - 6\).

\(y_2 = 6 - 2 = 4\).

Ответ: \((12;-6), (2;4)\).

в) \(\begin{cases} 3x+y=1, \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-2,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=1-3x, \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{1-3x}=-2,5 \end{cases}\)

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{1-3x}=-\frac{25}{10} \)

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{1-3x}=-\frac{5}{2} \)   \(/\times 2x(1-3x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(1-3x\neq 0\)

                            \(3x \neq 1\)

                            \(x \neq \frac13\)

\(2(1-3x) +2x = -5x(1-3x)\)

\(2-6x + 2x = -5x + 15x^2\)

\(15x^2 -5x+6x-2x-2=0\)

\(15x^2 -x-2 = 0\)

\(a = 15\),  \(b= -1\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot15\cdot(-2)=\)

\(=1+120=121\),    \(\sqrt D = 11\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{(-(-1) + 11}{2\cdot15} = \frac{12}{30} =\frac25=\)

\(=0,4\).

\( x_2 = \frac{(-(-1) - 11}{2\cdot15} = \frac{-10}{30} =-\frac13\).

\(y_1 = 1-3\cdot0,4 = 1 - 1,2 = -0,2\)

\(y_2 = 1-3\cdot(-\frac13) = 1 - 1 =2\)

Ответ: \((0,4;-0,2), (-\frac{1}{3};2)\).

г) \(\begin{cases} \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3}, \\ x-2y=2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \frac{1}{y}-\frac{1}{2+2y}=\frac{1}{3}, \\ x=2+2y \end{cases}\)

\(\frac{1}{y}-\frac{1}{2+2y}=\frac{1}{3}\)   \(/\times 3y(2+2y)\)

\(3(2+2y) -3y=y(2+2y)\)

\(6 + 6y - 3y = 2y +2y^2\)

\(2y^2 + 2y - 6y +3y - 6 = 0\)

\(2y^2 -y - 6 = 0\)

\(a = 2\),  \(b= -1\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-6)=\)

\(=1+48=49\),    \(\sqrt D = 7\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{(-(-1) + 7}{2\cdot2} = \frac{8}{4} =2\).

\( y_2 = \frac{(-(-1) - 7}{2\cdot2} = \frac{-6}{4} =-\frac32=\)

\(=-1,5\).

\(x_1 = 2+2\cdot2 = 2 + 4 = 6\).

\(x_2 = 2 + 2\cdot (-1,5) = 2 - 3 = -1\).

Ответ: \((6;2), (-1;-1,5)\).

Пояснения:

При решении каждой системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и выполнения преобразований в каждом случае получили дробное рациональное уравнение.

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После преобразования дробных уравнений получили полные квадратные уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

а) Использовали подстановку

\(x=y+5\), свели к квадратному уравнению по \(y\).

б) Использовали подстановку

\(y=6-x\), свели к квадратному уравнению по \(x\).

в) Подставили \(y=1-3x\), свели к квадратному уравнению по \(x\).

г) Подставили \(x=2y+2\), получили квадратное уравнение по \(y\).

Пусть скорость автомобиля, выехавшего из \(A\), равна \(x\) (км/ч),

Тогда скорость автомобиля из \(B\):

\(x + 10\) (км/ч).

А их скорость сближения:

\(x + x + 10 = 2x + 10\) (км/ч).

Составим уравнение:

\(\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + 4\frac12\)

\(\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + \frac92\) \(/\times2x(x + 10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 10\neq 0\)

                            \(x\neq-10\)

\(2(x + 10)(10x - 100)=300x +9x(x + 10)\)

\(2(10x^2 - \cancel{100x} + \cancel{100x}- 1000) = 300x + 9x^2 + 90x\)

\(20x^2-2000 - 300 x - 9x^2 - 90x = 0\)

\(11x^2 - 390x - 2000 = 0\)

\(a = 11\),  \(b = -390\),  \(c = -2000\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-390)^2 - 4\cdot11\cdot (-2000) = \)

\(=152100 + 88 000 = 240100\),

\(\sqrt D = 490\).

\(x_1 = \frac{-(-390) + 490}{2\cdot11} =\frac{880}{22} = 40\).

\(x_2 = \frac{-(-390) - 490}{2\cdot11} =\frac{-100}{22}=\)

\(=-\frac{50}{11}=-4\frac{6}{11}\) - не удовлетворяет условию.

1) \(40\) км/ч - скорость автомобиля из города \(А\).

2) \(40+10 = 50\) (км/ч) - скорость автомобиля из города \(В\).

3) \((40 + 50)\cdot5 = 90\cdot5 = 450\) (км)

Ответ: расстояние между городами равно \(245\) км.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

- Формула пути: \[S = v \cdot t\]

- Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

При встречном движении расстояние между городами равно сумме путей, а скорость сближения равна сумме скоростей.

Согласно условию составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + 4\frac12\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(40\) и \(-4\frac{6}{11}\). Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи, так как скорость может быть только положительным числом. Значит, скорость автомобиля, движущегося из пункта \(A\) равна \(40\) км/ч, тогда скорость автомобиля, движущегося из пункта \(B\) равна \(40+10 = 50\) (км/ч). Следовательно, расстояние между городами \(A\) и \(B\) равно:

\((40 + 50)\cdot5 = 90\cdot5 = 450\) (км).