Упражнение 707 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}\)    \((+)\)

\(\begin{cases} 3x^2 = 12, \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 = \frac{12}{3}, \\ y^2 = x^2 - 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 = 4, \\ y^2 =4 - 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 = 4, \\ y^2 =1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \pm\sqrt4, \\ y =\pm\sqrt1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2 \;\; или \;\; x = -2, \\ y =1 \;\; или \;\; y=-1 \end{cases}\)

Ответ: \((2;1), (-2;1), (2;-1), (-2;-1)\).

б) \(\begin{cases} 2x^2 - xy = 33, \\ 4x - y = 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2 - x(4x-17) = 33, \\ y = 4x - 17 \end{cases}\)

\( 2x^2-x(4x-17)=33 \)

\( 2x^2-4x^2+17x-33=0\)

\( -2x^2+17x-33=0 \)    \(/\times(-1)\)

\( 2x^2-17x+33=0 \)

\(a = 2\),  \(b= -17\),  \(c = 33\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-17)^2-4\cdot2\cdot33=\)

\(=289-264=25 \),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{(-(-17) + 5}{2\cdot2} = \frac{22}{4} =\)

\(=\frac{11}{2}=5,5\).

\( x_2 = \frac{(-(-17) - 5}{2\cdot2} = \frac{12}{4} =3\).

\(y_1 = 4\cdot5,5 - 17 = 22 - 17 = 5\).

\(y_2 = 4\cdot3 - 17 = 12 - 17 = -5\).

Ответ: \((3;-5), (5,5;5)\).

в) \(\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1,   /\times(-2) \\ 2x^2 - y^2 = 1   /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -6x^2 + 4y = -2, \\ 6x^2 - 3y^2 = 3 \end{cases}\)   \((+)\)

\(4y - 3y^2 = 1\)  

\(4y - 3y^2 - 1=0\)   \( /\times(-1) \)

\(3y^2 - 4y + 1=0\)

\(a = 3\),  \(b= -4\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=\)

\(=16-12=4 \),   \(\sqrt D = 2\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{(-(-4) + 2}{2\cdot3} = \frac{6}{6} = 1\).

\( y_2 = \frac{(-(-4) - 2}{2\cdot3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Если \(y = 1\), то

\(3x^2 - 2\cdot1 = 1\)

\(3x^2 -2 = 1\)

\(3x^2 = 1 + 2\)

\(3x^2 = 3\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm1\)

Если \(y = \frac13\), то

\(3x^2 - 2\cdot\frac13 = 1\)

\(3x^2 - \frac23 = 1\)

\(3x^2 = 1 + \frac23\)

\(3x^2 = 1\frac23\)

\(x^2 = 1\frac23 : 3\)

\(x^2 = \frac53 : 3\)

\(x^2 = \frac53\cdot \frac13\)

\(x^2 = \frac59\)

\(x = \pm\sqrt{\frac59}\)

\(x = \pm\frac{\sqrt5}{3}\)

Ответ: \((1;1), (-1;1),\)

\((\frac{\sqrt{5}}{3};\frac{1}{3}), (-\frac{\sqrt{5}}{3};\frac{1}{3})\).

г) \(\begin{cases} x - y - 4 = 0, \\ x^2 + y^2 = 8,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y + 4, \\ (y+4)^2 + y^2 = 8,5 \end{cases}\)

\((y+4)^2 + y^2 = 8,5\)

\(y^2 + 8y + 16 +y^2 - 8,5 = 0\)

\(2y^2 +8y + 7,5=0\)    \(/\times2\)

\(4y^2 + 16y + 15=0\)

\(a = 4\),  \(b= 16\),  \(c = 15\)

\(D = b^2 - 4ac=16^2-4\cdot4\cdot15=\)

\(=256-240=16 \),   \(\sqrt D = 4\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{-16 + 4}{2\cdot4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}=\)

\(=-1,5\).

\( y_2 = \frac{-16 - 4}{2\cdot4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}=\)

\(=-2,5\).

\(x_1 = -1,5 + 4 = 2,5\).

\(x_2 = -2,5 + 4 = 1,5\).

Ответ: \((2,5;-1,5), (1,5;-2,5)\).

д) \(\begin{cases} x^2 + 4y = 10, \\ x - 2y = -5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2y-5)^2 + 4y = 10, \\ x =2y -5 \end{cases}\)

\((2y-5)^2+4y=10 \)

\(4y^2 -20y +25 + 4y - 10=0\)

\( 4y^2-16y+15=0 \)

\(a = 4\),  \(b= -16\),  \(c = 15\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-16)^2-4\cdot4\cdot15=\)

\(=256-240=16 \),   \(\sqrt D = 4\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{-(-16) + 4}{2\cdot4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}=2,5\).

\( y_2 = \frac{-(-16) - 4}{2\cdot4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}=1,5\).

\(x_1 = 2\cdot2,5 - 5 = 5- 5 = 0\).

\(x_2 = 2\cdot1,5 - 5 = 3 - 5 = -2\).

Ответ: \((-2;1,5), (0;2,5)\).

е) \(\begin{cases} x - 2y + 1 = 0, \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2y - 1, \\ 5(2y-1)y + y^2 = 16 \end{cases}\)

\(5(2y-1)y+y^2=16 \)

\( 10y^2-5y+y^2-16 =0\)

\( 11y^2-5y-16=0 \)

\(a = 11\),  \(b= -5\),  \(c = -16\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-5)^2-4\cdot11\cdot(-16)=\)

\(=25+704=729 \),   \(\sqrt D = 27\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( y_1 = \frac{-(-5) + 27}{2\cdot11} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}=\)

\(=1\frac{5}{11}\).

\( y_2 = \frac{-(-5) - 27}{2\cdot11} = \frac{-22}{22} = -1\).

\(x_1 = 2\cdot\frac{16}{11} - 1 = \frac{32}{11} - 1 = \)

\(=2\frac{10}{11} - 1 = 1\frac{10}{11}\).

\(x_2 = 2\cdot(-1) - 1 = -2 - 1 = -3\).

Ответ: \((\frac{21}{11};\frac{16}{11}), (-3;-1)\).

---

Пояснения:

При решении систем уравнений из пунктов б), г), д), е) использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пунктах а) и в) использовали способ сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

В пунктах б), г), д), е) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пунктах а) и в) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

Составим уравнение:

\(1,5 + \frac12 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\)

\(1,5 + 0,5 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\)

\(2 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\)  \(/\times x(x+10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 10\neq 0\)

                            \(x\neq-10\)

\(2x(x+10) + x(225 -1,5x) = 225(x+10)\)

\(2x^2 +20x +225x -1,5x^2 = 225x + 2250\)

\(0,5x^2 +245x = 225x + 2250\)

\(0,5x^2 +245x - 225x - 2250=0\)

\(0,5x^2 +20x - 2250=0\)   \(/\times2\)

\(x^2 + 40x -4500 = 0\)

\(a = 1\),  \(b =40\),  \(c = -4500\)

\(D = 40^2 - 4 \cdot1 \cdot (-4500) =\)

\(=1600 + 18000 = 19600\),

\(\sqrt{D} = 140.\)

\( x_1 = \frac{-40 + 140}{2\cdot1} =\frac{100}{2}= 50\).

\( x_2 = \frac{-40 - 140}{2\cdot1} =\frac{-180}{2} = -90\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первоначальная скорость теплохода равна 50 км/ч.

---

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили первоначальную скорость теплохода \(x\) км/ч, тогда плановое время пути рассчитывается как \(\frac{225}{x}\). Так как теплоход задержался, он компенсировал потерю времени, увеличив скорость. Составили дробное рациональное уравнение по времени: фактическое время (учитывая задержку и изменение скорости) должно совпадать с плановым:

\(1,5 + \frac12 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(50\) и \(-90\). Но отрицательный корень не подходит, так как скорость может принимать только положительные значения. Значит, первоначальная скорость теплохода равна 50 км/ч.