Упражнение 704 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = -2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y+3, \\ (y+3)y = -2 \end{cases}\)

\( (y+3)y = -2 \)

\(y^2 + 3y + 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =3^2 -4\cdot1\cdot2=\)

\(=9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-3+ 1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(y_2= \frac{-3- 1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(x_1= -1 + 3 = 2\).

\(x_2 = -2 + 3 = 1\).

Ответ: \((2;-1)\), \((1;-2)\).

б) \(\begin{cases} x + y = 2,5, \\ xy = 1,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases}  y = 2,5 - x, \\ x(2,5-x) = 1,5 \end{cases}\)

\(x(2,5-x) = 1,5\)

\(2,5x - x^2 - 1,5 = 0\)   \(/\times(-2)\)

\(2x^2 -5x+3=0\)

\(a = 2\),  \(b= -5\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 -4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=25 - 24 = 1\),    \(\sqrt D =1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-5)+ 1}{2\cdot2}=\frac{6}{4} = \frac32=1,5\).

\(x_2= \frac{-(-5)- 1}{2\cdot2}=\frac{4}{4} =1\).

\(y_1 = 2,5 - 1,5 = 1\).

\(y_2 = 2,5 - 1 = 1,5\).

Ответ: \((1;1,5)\), \((1,5;1)\).

в) \(\begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = -1-x, \\ x^2 + (-1-x)^2 = 1 \end{cases}\)

\(x^2 + (-1-x)^2 = 1\)

\(x^2 + (1+x)^2 = 1\)

\(x^2 + 1 + 2x + x^2 -1 = 0\)

\(2x^2 + 2x = 0\)

\(x(2x + 2) = 0\)

\(x_1 = 0\)   или   \(2x + 2 = 0\)

                       \(2x = -2\)

                       \(x_2 = -1\)

\(y_1 = -1-0 = -1\).

\(y_2 = -1-(-1) =-1+1= 0\)

Ответ: \((0;-1)\), \((-1;0)\).

г) \(\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 17 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y+2, \\ (y+2)^2 - y^2 = 17 \end{cases}\)

\((y+2)^2 - y^2 = 17\)

\(y^2 + 4y + 4 -y^2 - 17 = 0\)

\(4y -13 = 0\)

\(4y = 13\)

\(y = \frac{13}{4}\)

\(y = 3,25\)

\(x = 3,25 +2 = 5,25\)

Ответ: \((5,25;3,25)\).

Пояснения:

При решении систем уравнений использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пунктах а) и б) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пункте в) получили неполное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx = 0\), корни которого находят разложением на множители

\(x(ax+b)=0\), учитывая то, что произведение рано нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).

В пункте г) получили линейное уравнение вила \(ax = b\), которое имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

В пунктах в) и г) при выполнении преобразований использовали формулу квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

В пункте в) также учли то, что :

\((-a - b)^2 = (a + b)^2\).

Пусть скорость течения реки равна \(x\) км/ч.

\(5\; ч \;20\;мин = 5\frac{20}{60}\; ч = 5\frac{1}{3}\; ч=\frac{16}{3}\; ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{20}{x} - \frac{20}{x+12} = \frac{16}{3}\) \(/\times 3x(x+12)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 12\neq 0\)

                            \(x\neq-12\)

\(60(x+12) -60x = 16x(x + 12)\)

\(\cancel{60x} + 720 - \cancel{60x} = 16x^2 +192x\)

\(16x^2 + 192x - 720 = 0\) \(/ : 16\)

\(x^2 + 12x- 45 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 12\),  \(c = -45\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=12^2 -4\cdot1\cdot (-45) =\)

\(=144 + 180 = 324\),    \(\sqrt D = 18\).

\( x_1 = \frac{-12 + 18}{2\cdot1}=\frac62 = 3\).

\( x_2 = \frac{-12 - 18}{2\cdot1}=\frac{-30}{2} = -15\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: плот шёл со скоростью 3 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость плота за \(x\) (скорость плота равна течению реки). Катер шёл быстрее на 12 км/ч, то есть \(x+12\). По условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{20}{x} - \frac{20}{x+12} = \frac{16}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(3\) и \(-15\).Но отрицательный корень не подходит, так как скорость может быть только положительным числом. Значит, плот проходил \(3\) км в час, то есть двигался со скоростью \(3\) км/ч.