Упражнение 706 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} y - 2x = 2, \\ 5x^2 - y = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 2x+2, \\ 5x^2 - (2x+2) = 1 \end{cases}\)

 \( 5x^2 - (2x+2) = 1 \)

 \( 5x^2 - 2x-2 - 1 =0\)

\(5x^2 - 2x - 3=0 \)

\(a = 5\),  \(b= -2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-3)=\)

\(=4+60 = 64\),    \(\sqrt D = 8\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-2)+ 8}{2\cdot5}=\frac{10}{10} = 1\).

\(x_2= \frac{-(-2)- 8}{2\cdot5}=\frac{-6}{10} = -0,6\).

\(y_1 = 2\cdot1+2 = 4\).

\(y_2 = 2\cdot(-0,6) + 2 =\)

\(=-1,2 + 2  = 0,8\).

Ответ: \((1;4)\), \((-0,6;0,8)\).

б) \(\begin{cases} x - 2y^2 = 2, \\ 3x + y = 7 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 2y^2+2, \\ 3(2y^2+2) + y = 7 \end{cases}\)

\( 3(2y^2+2)+y=7 \)

\(6y^2+6+y-7=0 \)

\( 6y^2+y-1=0 \)

\(a = 6\),  \(b= 1\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 -4ac=1^2 - 4\cdot6\cdot(-1)=\)

\(=1+24=25 \),     \(\sqrt D = 5\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-1+ 5}{2\cdot6}=\frac{4}{12} = \frac13\).

\(y_2= \frac{-1+ 5}{2\cdot6}=\frac{-6}{12} = -\frac12=-0,5\).

\(x_1 = 2\cdot(\frac13)^2 +2 = 2\cdot\frac19+2=\)

\(=\frac29+2=2\frac29\).

\(x_2=2\cdot(-0,5)^2 + 2=\)

\(=2\cdot0,25+2 = 0,5+2 = 2,5\)

Ответ: \((2\frac{2}{9};\frac{1}{3})\), \((2.5;-0.5)\).

в) \(\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1,  /\times(-2) \\ 2x^2 - y^2 = 1   /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -6x^2 + 4y = -2, \\ 6x^2 - 3y^2 = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4y-3y^2 = 1, \\ 3x^2 - 2y = 1 \end{cases}\)

\(4y-3y^2 = 1\)

\(4y-3y^2 - 1 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(3y^2 - 4y + 1=0\)

\(a = 3\),  \(b= -4\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 -4ac =(-4)^2 - 4\cdot3\cdot1 = \)

\(=16 -12 = 4\),    \(\sqrt D = 2\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-(-4)+ 2}{2\cdot3}=\frac{6}{6} = 1\).

\(y_1= \frac{-(-4) - 2}{2\cdot3}=\frac{2}{6} = \frac13\).

Если \(y = 1\), то

\( 3x^2 - 2\cdot1 = 1\)

\(3x^2 - 2 = 1\)

\(3x^2 = 1 + 2\)

\(3x^2 = 3\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm1\)

Если \(y = \frac13\), то

\( 3x^2 - 2\cdot\frac13 = 1\)

\(3x^2-\frac23 = 1\)  \( /\times3\)

\(9x^2 - 2 = 3\)

\(9x^2 = 3 +2\)

\(9x^2 = 5\)

\(x^2 = \frac59\)

\(x = \pm\frac{\sqrt5}{3}\)

Ответ: \((1;1), (-1;1),\)

\((\frac{\sqrt{5}}{3};\frac{1}{3}), (-\frac{\sqrt{5}}{3};\frac{1}{3})\).

г) \(\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3(3-2y)^2 + 2y^2 = 11, \\ x = 3-2y \end{cases}\)

\(3(3-2y)^2+2y^2=11 \)

\( 3(9-12y+4y^2)+2y^2-11 =0\)

\( 27-36y+12y^2+2y^2-11=0\)

\( 14y^2-36y+16=0 \)    \( / : 2\)

\(7y^2-18y+8=0 \)

\(a = 7\),  \(b= -18\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 -4ac =(-18)^2 - 4\cdot7\cdot 8=\)

\(=324 - 224 = 100\),    \(\sqrt D = 10\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-(-18)+ 10}{2\cdot7}=\frac{28}{14} = 2\).

\(y_2= \frac{-(-18)- 10}{2\cdot7}=\frac{8}{14} = \frac47\).

\(x_1 = 3 - 2\cdot2 = 3 - 4 = -1\).

\(x_2 = 3-2\cdot\frac47 = 3 - \frac87 = \)

\(=3 - 1\frac17 = 2\frac77 - 1\frac17 = 1\frac67\)

Ответ: \((-1;2), (1\frac{6}{7};\frac{4}{7})\).

д) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ 3x = 4y \end{cases}\)

\(\begin{cases} (\frac43y)^2 + y^2 = 100, \\ x = \frac43y \end{cases}\)

\(\Bigl(\tfrac{4}{3}y\Bigr)^2+y^2=100 \)

\( \tfrac{16}{9}y^2+y^2=100 \)  \( /\times9\)

\(16y^2 +9y^2 =900\)

\(25y^2 = 900\)

\(y^2 = \frac{900}{25}\)

\(y^2 = 36\)

\(y = \pm\sqrt{36}\)

\(y_1 = -6\)   и   \(y_2 = 6\)

\(x_1 = \frac43\cdot(-6)=-\frac{4\cdot\cancel6  ^2}{\cancel3} =-8\).

\(x_2 = \frac43\cdot(6)=\frac{4\cdot\cancel6  ^2}{\cancel3} =8\).

Ответ: \((8;6), (-8;-6)\).

е) \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 8 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2 - (2x-8)^2 = 32, \\ y = 2x - 8 \end{cases}\)

\( 2x^2-(2x-8)^2=32 \)

\( 2x^2-(4x^2-32x+64)=32 \)

\( 2x^2-4x^2+32x-64-32=0\)

\(-2x^2+32x-96=0 \)  \( / : (-2)\)

\(x^2-16x+48=0 \) 

\(a = 1\),  \(b= -16\),  \(c = 48\)

\(D = b^2 -4ac =\)

\(=(-16)^2 - 4\cdot1\cdot48 =\)

\(=256 - 192 = 64\),    \(\sqrt D = 8\).

 \(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-16)+ 8}{2\cdot1}=\frac{24}{2} = 12\).

\(x_2= \frac{-(-16)- 8}{2\cdot1}=\frac{8}{2} = 4\).

\(y_1 = 2\cdot12  - 8 = 24 - 8 = 16\).

\(y_2 = 2\cdot4 - 8 = 8 - 8 = 0\).

Ответ: \((12;16), (4;0)\).

---

Пояснения:

При решении систем уравнений из пунктов а), б), г), д), е) использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

В пункте в) использовали способ сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

В пунктах а), б), г), д), е) получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac >0\), которое имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

В пункте в) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

Пусть скорость течения (и скорость плота) равна \(x\) км/ч.

\(2 \; ч \;40 \; мин = 2\frac{40}{60} \; ч = 2\frac23 \; ч = \frac{8}{3}\; ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{17}{x} - \frac{27}{12-x} = \frac83\)   \(/\times3x(12-x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(12-x\neq 0\)

                            \(x\neq12\)

\(51(12 - x) -81x = 8x(12 - x)\)

\(612 - 51x - 81x = 96x -8x^2\)

\(612 - 51x - 81x - 96x + 8x^2 = 0\)

\(8x^2 -228x + 612 = 0\)   \(/ : 4\)

\(2x^2 -57x + 153 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -57\),  \(c = 153\)

\(D b^2-4ac = (-57)^2 - 4\cdot2\cdot153 =\)

\(=3249 - 1224 = 2025\),   \(\sqrt D = 45\).

\(x_1=\frac{-(-57)+45}{2\cdot2} =\frac{102}{4}=25,5\) - не удовлетворяет условию.

\(x_2=\frac{-(-57)-45}{2\cdot2} =\frac{12}{4}=3\).

Ответ: 3 км/ч.

---

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость течения \(x\). Катер идёт со скоростью \(12 - x\) против течения, его путь 27 км. Плот идёт со скоростью \(x\) и успел пройти 17 км, но он стартовал раньше на \(\frac{8}{3}\) ч. Учитывая данные условия получаем дробное рациональное уравнение:

\(\frac{17}{x} - \frac{27}{12-x} = \frac83\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(25,5\) и \(3\). Но значение скорости течения реки не может быть равно \(25\) км/ч, так как в таком случае скорость катера \(12 - x = 12 - 25,5< 0\), чего не может быть (скорость может принимать только положительные значения). Значит, скорость течения реки равна \(3\) км/ч.