Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

- серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство

1) Дано: m - серединный перпендикуляр отрезка АВ, О - середина АВ, Мm

Доказать: АМ = ВМ

Доказательство:

Если О = М, то АМ = ВМ, т.к. О - середина АВ.

Пусть О М. Рассмотрим ОАМ и ОВМ: так как m - серединный перпендикуляр отрезка АВ, то рассматриваемые треугольники прямоугольные. ОА = ОВ, т.к. О - середина отрезка АВ, ОМ - общий катет, следовательно, ОАМ = ОВМ, по двум катетам, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому АМ = ВМ.

2) Дано: m - серединный перпендикуляр отрезка АВ, О - середина АВ, АN = ВN

Доказать: Nm

Доказательство:

Рассмотрим произвольную точку N.

Если NАВ, то N = О, а, значит, она лежит на прямой m.

Если N не лежит на АВ, то ANB - равнобедренный, так как АN = ВNО - середина АВ, следовательно, - медиана ANB, а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника. Поэтому АВ, следовательно, прямые и m совпадают, так как по устовию m - серединный перпендикуляр отрезка АВ, т.е. N - точка прямой m. Теорема доказана.

Следствие 1

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Следствие2

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 679, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 680, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 19, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 720, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1003, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1172, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1173, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1291, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник