Свойство биссектрисы угла

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство

1) Дано: ВАС, АМ - биссектриса, МК АВ, MLАС.

Доказать: MK = ML

Доказательство:

Рассмотрим АМК и AML: МКАВ, MLАС, поэтому рассматриваемые треугольники прямоугольные. АМ - общая гипотенуза, 1 = 2, т.к. луч АМ - биссектриса, следовательно, АМК = AML, по гипотенузе и острому углу, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому MK = ML.

2) Дано: ВАСMK = ML, МК АВ, MLАС.

Доказать: АМ - биссектриса ВАС

Доказательство:

Рассмотрим АМК и AML: МКАВ, MLАС, поэтому рассматриваемые треугольники прямоугольные. АМ - общая гипотенуза,  MK = ML по условию, следовательно, АМК = AML, по гипотенузе и катету, а в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, поэтому 1 = 2, а это означает, что луч  АМ - биссектриса ВАС. Теорема доказана.

Следствие 1

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.

Следствие 2

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведем перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.

По доказанной теореме ОК = ОМ и ОК = OL. Поэтому ОМ = OL, т.е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 677, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 688, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 707, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 22, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 724, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 810, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 885, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 891, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1275, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник