Взаимное расположение двух окружностей

Концентрические окружности - окружности с общим центром и различными радиусами. На рисунке 1 окружности с центрами О₁ и О₂ и радиусами R и r соответственно - концентрические окружности.

              Рис. 1

Концентрические окружности не имеют общих точек, все точки одной из окружностей являются внутренними точками относительно другой.

Заметим, что две окружности с разными центрами не могут иметь более двух общих точек.

Рассмотрим окружности, у которых центры О₁ и О₂ не совпадают. Пусть d расстояние между точками О₁ и О₂. Для определенности будем считать, что R r.

Если окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются. На рисунках 2 а, б окружности пересекаются в двух точках М₁ и М₂. Обратите внимание, в этом случае d < R + r или d > R - r.

                                       Рис. 2

Если две окружности имеют одну общую точку, то говорят, что они касаются. Общая точка окружностей в этом случае называется точкой касания. На рисунке 3, окружности касаются внутренним образом, в этом случае d = R - r. На рисунке 3, б окружности касаются внешним образом, в этом случае d = R + r.

                              Рис. 3

На рисунке 4, все точки окружности с центром О₂ являются внутренними точками относительно окружности с центром О₁. В таком случае говорят, что одна окружность лежит внутри другой, при этом d < R - r. На рисунке 4, б окружности не имеют общих точек и ни одна из них не лежит внутри другой. В таком случае говорят, что окружность с центром О₂ лежит вне окружности с центром О₁, при этом d > R + r.

                               Рис. 4

Лемма

Если для длин , и трех данных отрезков выполняются условия: то существует треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.

Теорема о взаимном расположении двух окружностей

Следствие