Взаимное расположение прямой и окружности

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках - концах диаметра, лежащего на на этой прямой. На рисунке 1 прямая проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

      

Если прямая не проходит через центр О окружности радиуса , то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием от центра окружности до прямой .

1 случай

. На прямой от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны . Точки А и В по построению лежат на одной прямой (Рис.2).

Проверим, лежат ли точки А и В на окружности.

АНО и ВНО - прямоугольные (т.к. расстояние от точки О до прямой - это перпендикуляр) , следовательно, по теореме Пифагора: и , учитывая то, что ОН = , НА = НВ = , получим:

Поэтому точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой и данной окружности,.

Докажем, что прямая и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С, значит, ОС = (Рис.3).

Тогда медиана ОD равнобедренного ОАС (ОА = ОС = ), проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольникам (по свойству равнобедренного треугольника), поэтому OD . Отрезки ОD  и ОН не совпадают, т.к. середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н - серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и ОD) к прямой , что невозможно (т.к. из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один). Следовательно, наше предположение неверно, т.е. точка С не является общей точкой прямой и данной окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (), то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности (на рисунке 2  прямая - секущая).

2 случай

= . В этом случае ОН = , т.е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (Рис.4).

Прямая и окружность не имеют других общих точек, т.к. для любой точки М прямой , отличной от точки Н, ОМОН = (наклонная ОМ всегда больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( = ), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности (на рисунке 4 прямая - касательная).

3 случай

. В этом случае, ОН , поэтому для любой точки М прямой ОМОН (Рис. 5). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Касательная к окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 658, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 660, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 661, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 671, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 672, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 2, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 719, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 724, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 877, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник