Взаимное расположение прямой и окружности

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках - концах диаметра, лежащего на на этой прямой. На рисунке 1 прямая проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

Если прямая не проходит через центр О окружности радиуса , то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием от центра окружности до прямой .

1 случай

. На прямой от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны . Точки А и В по построению лежат на одной прямой (Рис.2).

Проверим, лежат ли точки А и В на окружности.

АНО и ВНО - прямоугольные (т.к. расстояние от точки О до прямой - это перпендикуляр) , следовательно, по теореме Пифагора: и , учитывая то, что ОН = , НА = НВ = , получим:

Поэтому точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой и данной окружности,.

Докажем, что прямая и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С, значит, ОС = (Рис.3).

Тогда медиана ОD равнобедренного ОАС (ОА = ОС = ), проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольникам (по свойству равнобедренного треугольника), поэтому OD . Отрезки ОD  и ОН не совпадают, т.к. середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н - серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и ОD) к прямой , что невозможно (т.к. из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один). Следовательно, наше предположение неверно, т.е. точка С не является общей точкой прямой и данной окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (), то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности (на рисунке 2  прямая - секущая).

2 случай

= . В этом случае ОН = , т.е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (Рис.4).

Прямая и окружность не имеют других общих точек, т.к. для любой точки М прямой , отличной от точки Н, ОМОН = (наклонная ОМ всегда больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( = ), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности (на рисунке 4 прямая - касательная).

3 случай

. В этом случае, ОН , поэтому для любой точки М прямой ОМОН (Рис. 5). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (), то прямая и окружность не имеют общих точек.