Касательная к окружности

Касательная к окружности - прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, которая называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 1 прямая - касательная к окружности, точка Н - точка касания прямой и окружности с центром в точке О.

Свойство касательной к окружности

Теорема

Доказательство

Дано: - касательная к окружности с центром в точке О, Н - точка касания (Рис. 2).

Доказать: ОН.

Доказательство:

Предположим, что ОН. Тогда радиус ОН является наклонной к прямой . При этом перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой , меньше наклонной ОН, тогда расстояние от центра О окружности до прямой меньше радиуса. Следовательно прямая и окружность будут иметь две общие точки, что противоречит условию: прямая - касательная. Поэтому наше предположение неверно, значит, ОН . Теорема доказана.

Доказательство

Дано: АВ и АС - касательные к окружности с центром в точке О, В и С - точки касания (Рис. 3).

Доказать: АВ = АС и 3 =4.

Доказательство:

1 =2 = 90⁰, т.к. ОВАВ, ОСАС по теореме о свойстве касательной (смотри выше), поэтому АВО и АСО прямоугольные. При этом ОВ = ОС (радиусы), АО - общая, следовательно, АВО =АСО (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует, что АВ = АС и 3 =4. Что и требовалось доказать.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной (признак касательной)

Теорема

Доказательство

Дано: ОН - радиус окружности с центром в точке О, Н, ОН (Рис. 4).

Доказать: - касательная.

Доказательство:

По условию радиус ОН , поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку, значит, данная прямая является касательной к окружности (по определению касательной). Теорема доказана.

Задача

Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.

Дано: точка А лежит на окружности с центром в точке О.

Провести касательную к окружности так, что А.

Решение:

Строим с помощью циркуля окружность с центром в точке О, отмечаем на данной окружности точку А.

Далее проводим прямую ОА и строим прямую , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА. Для этого с помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в точке А (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным). Точки пересечения данной окружности с прямой ОА обозначаем буквами В и С.

Затем строим две окружности радиуса ВС с центрами в точках В и С (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Через точки Р и Q с помощью линейки проводим прямую , которая будет перпендикулярна к прямой ОА.

Итак, ОА, ОА - радиус, следовательно, - искомая касательная к окружности с центром в точке О радиуса ОА (по признаку касательной).