Нам уже известно, что окружность - это геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка - центр окружности, а заданное расстояние - радиус окружности. Из определения получается, что окружность представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от центра.
Доказательство:
1) Пусть диаметр СD окружности с центром О радиуса проходит через середину Е хорды АВ (рис. 2, ). Докажем, что диаметр СD перпендикулярен хорде АВ.
Рис. 2
АОВ - равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы окружности, и отрезок ОЕ - его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой треугольника. Значит, ОЕ перпендикулярен АВ.
2) Пусть теперь диаметр СD данной окружности перпендикулярен хорде АВ, и докажем, что он делит хорду пополам.
Рассмотрим диаметр МР, проходящий через середину Е хорды АВ (рис. 2, б). По доказанному выше, отрезки МР и АВ перпендикулярны. Но тогда через центр О окружности проходят две прямые СD и МР, перпендикулярные АВ, значит, они совпадают. Поэтому МР и CD - один и то же диаметр.
Если угол АСВ - прямой, то говорят, что отрезок АВ виден под прямым углом из точки С.
Доказательство:
1) Пусть АВ - диаметр окружности с центром О. Тогда если для точки С угол АСВ прямой, то в прямоугольном треугольнике АСВ медиана СО равна половине гипотенузы, к которой она проведена. Тогда ОА = ОВ = ОС, т.е. С лежит на окружности с центром О радиуса ОА.
Рис. 3
2) Пусть точка С лежит на окружности с диаметром АВ, О - центр этой окружности (рис. 3). Тогда точка О - середина отрезка АВ. В АСВ медиана СО равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол АСВ прямой.
Согласно доказанному можно определить еще одно геометрическое место точек: множество всех точек, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность с диаметром АВ (за исключением точек А и В).
Взаимное расположение прямой и окружности
Взаимное расположение двух окружностей
Общие касательные двух окружностей
Градусная мера дуги окружности
Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку
Теорема о пересечении высот треугольника